Номер 39.22, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.22, страница 155.

39.22 Найдите, на каком отрезке функция $y = \left(\frac{1}{3}\right)^x$ принимает наиболь-шее значение, равное 81, и наименьшее, равное $\frac{1}{27}$.

Дана показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$. Основание степени $a = \frac{1}{3}$. Поскольку $0 < a < 1$, данная функция является монотонно убывающей на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует меньшее значение функции $y$, и наоборот.

Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой точке искомого отрезка, а наименьшее — в правой.

Найдем значение $x$, при котором функция принимает наибольшее значение, равное 81.

$y = 81$

$(\frac{1}{3})^x = 81$

Чтобы решить это уравнение, представим 81 как степень с основанием $\frac{1}{3}$.

$81 = 3^4 = ((\frac{1}{3})^{-1})^4 = (\frac{1}{3})^{-4}$

Таким образом, получаем:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^{-4}$

Отсюда $x = -4$.

Теперь найдем значение $x$, при котором функция принимает наименьшее значение, равное $\frac{1}{27}$.

$y = \frac{1}{27}$

$(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{27}$

Представим $\frac{1}{27}$ как степень с основанием $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$

Таким образом, получаем:

$(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^3$

Отсюда $x = 3$.

Поскольку функция убывающая, наибольшее значение (81) достигается при меньшем значении аргумента ($x = -4$), а наименьшее значение ($\frac{1}{27}$) — при большем значении аргумента ($x = 3$). Следовательно, искомый отрезок — это $[-4; 3]$.

Ответ: $[-4; 3]$.