Номер 39.25, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.25, страница 156.

39.25 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 1, \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-3)$; $f(-2,5)$; $f(0)$; $f(1)$; $f(2)$;

б) постройте график функции $y = f(x)$;

в) прочитайте график функции.

а) Вычислите f(-3); f(-2,5); f(0); f(1); f(2);

Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках необходимо определить, какому промежутку принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу из определения функции:

$f(x) = \begin{cases} 4^x, & \text{если } x < 1 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

• Вычисление $f(-3)$:
  Поскольку $-3 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(-3) = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{64}$.

• Вычисление $f(-2,5)$:
  Поскольку $-2,5 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(-2,5) = 4^{-2,5} = 4^{-5/2} = \frac{1}{4^{5/2}} = \frac{1}{(\sqrt{4})^5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.

• Вычисление $f(0)$:
  Поскольку $0 < 1$, используем первую формулу: $f(x) = 4^x$.
  $f(0) = 4^0 = 1$.

• Вычисление $f(1)$:
  Поскольку $1 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2 + 1$.
  $f(1) = -(1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

• Вычисление $f(2)$:
  Поскольку $2 \ge 1$, используем вторую формулу: $f(x) = -x^2 + 1$.
  $f(2) = -(2)^2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Ответ: $f(-3) = \frac{1}{64}$; $f(-2,5) = \frac{1}{32}$; $f(0) = 1$; $f(1) = 0$; $f(2) = -3$.

б) постройте график функции y = f(x);

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей.

1. При $x < 1$ функция задается формулой $y = 4^x$. Это показательная функция, основание которой $4 > 1$. График этой функции проходит через точку $(0, 1)$ и возрастает. Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$. Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x=1$. Так как неравенство строгое ($x<1$), точка на графике будет выколотой.$y(1) = 4^1 = 4$. Таким образом, левая часть графика заканчивается в точке $(1, 4)$ с выколотым кружком.

2. При $x \ge 1$ функция задается формулой $y = -x^2 + 1$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Нам нужна часть этой параболы для $x \ge 1$. Найдем значение функции в граничной точке $x=1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 1$), точка будет закрашенной.$y(1) = -(1)^2 + 1 = 0$. Таким образом, правая часть графика начинается в точке $(1, 0)$ с закрашенным кружком.Для более точного построения найдем еще одну точку, например, при $x=2$:$y(2) = -(2)^2 + 1 = -3$. График проходит через точку $(2, -3)$.

График функции представляет собой кривую показательной функции $y=4^x$ на интервале $(-\infty, 1)$ и часть параболы $y=-x^2+1$ на луче $[1, +\infty)$. В точке $x=1$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции построен путем объединения графика функции $y = 4^x$ на интервале $(-\infty, 1)$ и графика функции $y = -x^2 + 1$ на луче $[1, +\infty)$. В точке $x=1$ происходит скачок: левый предел равен 4, а значение функции равно 0.

в) прочитайте график функции.

Перечислим основные свойства функции $y = f(x)$ на основе ее графика и определения:

• Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

• Область значений: На интервале $(-\infty, 1)$ значения функции лежат в интервале $(0, 4)$. На луче $[1, +\infty)$ значения лежат в промежутке $(-\infty, 0]$. Объединяя эти множества, получаем $E(f) = (-\infty, 4)$.

• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=1$.

• Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, 1)$; $f(x) < 0$ при $x \in (1, +\infty)$.

• Монотонность: Функция возрастает на интервале $(-\infty, 1)$ и убывает на луче $[1, +\infty)$.

• Экстремумы: Функция не имеет точек локального максимума или минимума. Наибольшего и наименьшего значений нет.

• Непрерывность: Функция непрерывна на множестве $(-\infty, 1) \cup [1, +\infty)$. В точке $x=1$ функция терпит разрыв первого рода (скачок).

• Четность: Функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения симметрична относительно нуля, но $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$. Например, $f(2) = -3$, а $f(-2) = 4^{-2} = \frac{1}{16}$.

• Ограниченность: Функция ограничена сверху числом 4, но не ограничена снизу.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.