Номер 39.32, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.32, страница 157.

Решите уравнение:

39.32 а) $3^x = 9$;

б) $3^x = \frac{1}{3}$;

в) $3^x = 27$;

г) $3^x = \frac{1}{81}$;

а) $3^x = 9$

Для решения этого показательного уравнения необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае основание равно 3. Представим число 9 в виде степени с основанием 3:

$9 = 3^2$

Теперь уравнение принимает вид:

$3^x = 3^2$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = 2$

Ответ: 2

б) $3^x = \frac{1}{3}$

Приведем правую часть уравнения к основанию 3. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем записать:

$\frac{1}{3} = 3^{-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$3^x = 3^{-1}$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = -1$

Ответ: -1

в) $3^x = 27$

Представим число 27 в виде степени с основанием 3. Мы знаем, что:

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Запишем уравнение с одинаковыми основаниями:

$3^x = 3^3$

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = 3$

Ответ: 3

г) $3^x = \frac{1}{81}$

Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к основанию 3. Сначала представим число 81 в виде степени числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^4$

Теперь, используя свойство степени с отрицательным показателем, запишем дробь в виде степени:

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}$

Уравнение принимает вид:

$3^x = 3^{-4}$

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$x = -4$

Ответ: -4