Номер 39.30, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.30, страница 157.

39.30 Докажите, что для функции $y = f(x)$, где $f(x) = 2^x$, выполняется равенство:

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

б) $f(x+1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.

а) $f(x_1) \cdot f(x_2) = f(x_1 + x_2)$;

Для доказательства этого равенства, подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в левую и правую части.

Левая часть: $f(x_1) \cdot f(x_2) = 2^{x_1} \cdot 2^{x_2}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем: $2^{x_1} \cdot 2^{x_2} = 2^{x_1 + x_2}$.

Правая часть: $f(x_1 + x_2) = 2^{x_1 + x_2}$.

Так как левая и правая части равны ($2^{x_1 + x_2} = 2^{x_1 + x_2}$), равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

б) $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2f^3(x)$;

Подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в обе части равенства.

Левая часть: $f(x + 1) \cdot f(2x) = 2^{x+1} \cdot 2^{2x}$.

По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, имеем: $2^{x+1} \cdot 2^{2x} = 2^{(x+1) + 2x} = 2^{3x+1}$.

Правая часть: $2f^3(x) = 2 \cdot (f(x))^3 = 2 \cdot (2^x)^3$.

По свойству степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2 \cdot (2^x)^3 = 2^1 \cdot 2^{3x} = 2^{1+3x} = 2^{3x+1}$.

Левая и правая части равны ($2^{3x+1} = 2^{3x+1}$), следовательно, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

в) $f(-2x) = \frac{1}{f^2(x)}$;

Преобразуем левую и правую части, используя определение функции $f(x) = 2^x$.

Левая часть: $f(-2x) = 2^{-2x}$.

Правая часть: $\frac{1}{f^2(x)} = \frac{1}{(f(x))^2} = \frac{1}{(2^x)^2}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, имеем: $\frac{1}{(2^x)^2} = \frac{1}{2^{2x}}$.

Далее, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем: $\frac{1}{2^{2x}} = 2^{-2x}$.

Так как обе части равны $2^{-2x}$, равенство доказано.

Ответ: равенство доказано.

г) $f(\cos^2 x) = \sqrt{2f(\cos 2x)}$.

Подставим определение функции $f(x) = 2^x$ в обе части.

Левая часть: $f(\cos^2 x) = 2^{\cos^2 x}$.

Правая часть: $\sqrt{2f(\cos 2x)} = \sqrt{2 \cdot 2^{\cos 2x}} = \sqrt{2^{1+\cos 2x}}$.

Используя свойство корня $\sqrt{a} = a^{1/2}$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, преобразуем правую часть:

$\sqrt{2^{1+\cos 2x}} = (2^{1+\cos 2x})^{1/2} = 2^{\frac{1+\cos 2x}{2}}$.

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$.

Подставим эту формулу в показатель степени правой части:

$2^{\frac{1+\cos 2x}{2}} = 2^{\cos^2 x}$.

Левая и правая части равны ($2^{\cos^2 x} = 2^{\cos^2 x}$), что и требовалось доказать.

Ответ: равенство доказано.