Номер 39.23, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.23, страница 156.

39.23 Найдите область определения функции:

а) $y = 4^{x^2 - 1}$;

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$;

в) $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2 + 2}$;

г) $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}$.

а) $y = 4^{x^2-1}$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^{f(x)}$, где основание $a=4$ и показатель степени $f(x) = x^2-1$.

Область определения показательной функции ($D(y)$) зависит от области определения ее показателя, так как основание $a=4$ является положительным числом, не равным 1. Выражение в показателе степени, $f(x) = x^2-1$, является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел $x$.

Следовательно, область определения данной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

б) $y = 7^{\frac{1}{x}}$

Это показательная функция, где основание $a=7$ и показатель степени $f(x) = \frac{1}{x}$.

Функция определена, когда определен ее показатель степени. Показатель степени $f(x) = \frac{1}{x}$ представляет собой дробь, которая определена при всех значениях $x$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю.

В данном случае знаменатель равен $x$, поэтому должно выполняться условие $x \neq 0$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) $y = \left(\frac{3}{8}\right)^{-x^2+2}$

Данная функция является показательной функцией вида $y = a^{f(x)}$, где основание $a=\frac{3}{8}$ и показатель степени $f(x) = -x^2+2$.

Область определения этой функции совпадает с областью определения ее показателя, так как основание $a=\frac{3}{8}$ положительно и не равно единице. Выражение в показателе степени, $f(x) = -x^2+2$, является многочленом. Многочлены определены для всех действительных чисел $x$.

Таким образом, область определения исходной функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

г) $y = 9,1^{\frac{1}{x-1}}$

Это показательная функция, где основание $a=9,1$ и показатель степени $f(x) = \frac{1}{x-1}$.

Функция определена, когда определен ее показатель степени. Показатель $f(x) = \frac{1}{x-1}$ — это дробно-рациональное выражение. Оно определено для всех значений $x$, при которых его знаменатель не обращается в ноль.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю: $x-1=0$, откуда $x=1$.

Следовательно, это значение необходимо исключить из области определения. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.