Номер 39.28, страница 156, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.28, страница 156.

Найдите область значений функции:

39.28 a) $y = 3 \cdot 2^x$;

б) $y = 14 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$;

в) $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$;

г) $y = \frac{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x$.

а) Рассматриваем функцию $y = 3 \cdot 2^x$. Областью значений показательной функции $f(x)=a^x$ (при $a>0, a \neq 1$) является множество всех положительных действительных чисел. Таким образом, выражение $2^x$ принимает значения из интервала $(0; +\infty)$. Поскольку $2^x$ умножается на положительное число $3$, то и значения функции $y$ будут строго положительными. Следовательно, область значений функции $y=3 \cdot 2^x$ — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

б) Для функции $y = 14 \cdot (\frac{1}{2})^x$ показательная часть $(\frac{1}{2})^x$ всегда больше нуля для любого действительного $x$. То есть, $(\frac{1}{2})^x \in (0; +\infty)$. Коэффициент $14$ является положительным. При умножении любого числа из интервала $(0; +\infty)$ на $14$, результат также будет принадлежать интервалу $(0; +\infty)$. Таким образом, область значений функции — это множество всех положительных чисел.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

в) В функции $y = \frac{1}{2} \cdot 7^x$ выражение $7^x$ представляет собой показательную функцию с основанием $7 > 1$. Множество ее значений — это интервал $(0; +\infty)$. Умножение на положительный коэффициент $\frac{1}{2}$ не меняет знак значений, поэтому область значений исходной функции также является интервалом $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.

г) Для функции $y = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{2})^x$ показательное выражение $(\frac{1}{2})^x$ принимает только строго положительные значения. Так как оно умножается на положительный коэффициент $\frac{4}{3}$, итоговые значения функции $y$ также будут строго положительными. Следовательно, область значений функции — это интервал $(0; +\infty)$.

Ответ: $E(y) = (0; +\infty)$.