Номер 39.33, страница 157, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.33, страница 157.

39.33 а) $5^x = \sqrt{5}$; б) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 81$;

В) $8^x = \sqrt[5]{8}$; Г) $\left(\frac{4}{5}\right)^x = \frac{16}{25}$.

а)

Дано показательное уравнение $5^x = \sqrt{5}$.
Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае основанием является число 5.
Представим правую часть уравнения, $\sqrt{5}$, в виде степени. Квадратный корень из числа равен этому числу в степени $\frac{1}{2}$.

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:

$5^x = 5^{1/2}$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $x = \frac{1}{2}$

б)

Дано показательное уравнение $(\frac{1}{3})^x = 81$.
Приведем обе части уравнения к общему основанию, которым удобно выбрать число 3.

Левую часть уравнения преобразуем, используя свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(\frac{1}{3})^x = (3^{-1})^x = 3^{-x}$

Правую часть уравнения, число 81, представим как степень числа 3:

$81 = 9 \cdot 9 = 3^2 \cdot 3^2 = 3^{2+2} = 3^4$

Теперь уравнение имеет вид:

$3^{-x} = 3^4$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$-x = 4$
$x = -4$

Ответ: $x = -4$

в)

Дано показательное уравнение $8^x = \sqrt[5]{8}$.
Основания в обеих частях уравнения уже одинаковы и равны 8. Необходимо представить правую часть в виде степени с рациональным показателем.
Корень n-ой степени из числа $a$ можно записать в виде степени как $a^{1/n}$. Следовательно:

$\sqrt[5]{8} = 8^{1/5}$

Подставим это в исходное уравнение:

$8^x = 8^{1/5}$

Поскольку основания равны, показатели степеней также должны быть равны:

$x = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$

г)

Дано показательное уравнение $(\frac{4}{5})^x = \frac{16}{25}$.
Чтобы решить это уравнение, приведем правую часть к основанию $\frac{4}{5}$, как в левой части.

Заметим, что числитель и знаменатель правой части являются квадратами числителя и знаменателя основания: $16 = 4^2$ и $25 = 5^2$.
Используя свойство степени $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, получаем:

$\frac{16}{25} = \frac{4^2}{5^2} = (\frac{4}{5})^2$

Теперь уравнение можно записать так:

$(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^2$

Так как основания в обеих частях уравнения равны, их показатели степеней также должны быть равны.

$x = 2$

Ответ: $x = 2$