Номер 39.39, страница 158, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.39, страница 158.

Решите графически уравнение:

39.39 a) $3^x = 4 - x$;

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$;

в) $5^x = 6 - x$;

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$.

а) $3^x = 4 - x$

Для решения этого уравнения графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $y = 3^x$ и $y = 4 - x$. Абсцисса точки пересечения этих графиков и будет решением уравнения.

1. Функция $y = 3^x$ — это показательная функция с основанием $a = 3 > 1$. Она является возрастающей на всей своей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки графика: $(-1, 1/3)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$.

2. Функция $y = 4 - x$ — это линейная функция, ее график — прямая. Функция является убывающей, так как угловой коэффициент равен $-1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 4)$ и ось OX в точке $(4, 0)$.

Поскольку одна функция монотонно возрастает, а другая монотонно убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем эту точку пересечения подбором, проверяя целочисленные значения $x$.

Проверим $x = 1$:
Левая часть уравнения: $3^1 = 3$.
Правая часть уравнения: $4 - 1 = 3$.
Так как $3 = 3$, то $x = 1$ является корнем уравнения. Это абсцисса точки пересечения $(1, 3)$.

Ответ: $x = 1$.

б) $(\frac{1}{2})^x = x + 3$

Для решения уравнения построим графики функций $y = (\frac{1}{2})^x$ и $y = x + 3$. Решением будет абсцисса точки их пересечения.

1. Функция $y = (\frac{1}{2})^x$ — это показательная функция с основанием $a = 1/2$, где $0 < a < 1$. Она является убывающей на всей области определения. График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки графика: $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 1/2)$.

2. Функция $y = x + 3$ — это линейная функция, ее график — прямая. Функция является возрастающей, так как угловой коэффициент равен $1$. График пересекает ось OY в точке $(0, 3)$ и ось OX в точке $(-3, 0)$.

Так как одна функция монотонно убывает, а другая монотонно возрастает, они могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором.

Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{2})^{-1} = 2$.
Правая часть: $-1 + 3 = 2$.
Значения совпали, значит, $x = -1$ является решением уравнения. Точка пересечения графиков — $(-1, 2)$.

Ответ: $x = -1$.

в) $5^x = 6 - x$

Решим уравнение графически, построив в одной системе координат графики функций $y = 5^x$ и $y = 6 - x$.

1. Функция $y = 5^x$ — это возрастающая показательная функция (основание $a = 5 > 1$). График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 1/5)$, $(0, 1)$, $(1, 5)$.

2. Функция $y = 6 - x$ — это убывающая линейная функция (прямая с угловым коэффициентом $-1$). График проходит через точки $(0, 6)$ и $(6, 0)$.

Возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем решение подбором.

Проверим $x = 1$:
Левая часть: $5^1 = 5$.
Правая часть: $6 - 1 = 5$.
Поскольку $5 = 5$, $x = 1$ является корнем уравнения. Точка пересечения — $(1, 5)$.

Ответ: $x = 1$.

г) $(\frac{1}{7})^x = x + 8$

Построим в одной системе координат графики функций $y = (\frac{1}{7})^x$ и $y = x + 8$.

1. Функция $y = (\frac{1}{7})^x$ — это убывающая показательная функция (основание $a = 1/7$, $0 < a < 1$). График проходит через точку $(0, 1)$. Некоторые точки: $(-1, 7)$, $(0, 1)$, $(1, 1/7)$.

2. Функция $y = x + 8$ — это возрастающая линейная функция (прямая с угловым коэффициентом $1$). График проходит через точки $(0, 8)$ и $(-8, 0)$.

Убывающая и возрастающая функции могут иметь только одну точку пересечения. Найдем ее координату подбором.

Проверим $x = -1$:
Левая часть: $(\frac{1}{7})^{-1} = 7$.
Правая часть: $-1 + 8 = 7$.
Значения совпали, значит, $x = -1$ является решением уравнения. Точка пересечения — $(-1, 7)$.

Ответ: $x = -1$.