Номер 39.43, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.43, страница 159.

39.43 При каких значениях x график заданной показательной функции лежит ниже графика заданной линейной функции:

а) $y = 2^x$, $y = -\frac{3}{2}x - 1$;

б) $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$, $y = -x - 2$;

в) $y = \left(\frac{1}{5}\right)^x$, $y = 3x + 1$;

г) $y = 3^x$, $y = -2x + 5?$

а) Чтобы найти значения $x$, при которых график функции $y = 2^x$ лежит ниже графика функции $y = -\frac{3}{2}x - 1$, необходимо решить неравенство $2^x < -\frac{3}{2}x - 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = 2^x$ и $g(x) = -\frac{3}{2}x - 1$. Функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $g(x)$ является строго убывающей.

Две монотонные функции, одна из которых возрастает, а другая убывает, могут пересекаться не более чем в одной точке. Попробуем найти эту точку пересечения, решив уравнение $2^x = -\frac{3}{2}x - 1$.

Методом подбора легко проверить, что $x=-1$ является корнем этого уравнения:

При $x=-1$: $2^{-1} = \frac{1}{2}$

При $x=-1$: $-\frac{3}{2}(-1) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Так как $f(-1) = g(-1)$, то $x=-1$ — единственная точка пересечения графиков.

Поскольку $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < -1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а при $x > -1$ — неравенство $f(x) > g(x)$. Следовательно, график показательной функции лежит ниже графика линейной при $x < -1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1)$.

б) Нам нужно найти значения $x$, при которых $y = (\frac{1}{2})^x$ лежит ниже $y = -x - 2$, то есть решить неравенство $(\frac{1}{2})^x < -x - 2$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ и $g(x) = -x - 2$.

Функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x$ является показательной, её значения всегда строго положительны ($f(x) > 0$ для любого $x$).

Функция $g(x) = -x - 2$ является линейной. Найдем, при каких значениях $x$ она принимает неположительные значения: $-x - 2 \le 0 \Rightarrow -x \le 2 \Rightarrow x \ge -2$.

Таким образом, для всех $x \ge -2$ функция $g(x)$ неположительна, в то время как $f(x)$ всегда положительна. На этом интервале неравенство $(\frac{1}{2})^x < -x - 2$ выполняться не может, так как положительное число не может быть меньше неположительного.

Рассмотрим интервал $x < -2$. На этом интервале обе функции положительны. Однако, при движении $x$ влево (к $-\infty$), показательная функция $f(x) = (\frac{1}{2})^x = 2^{-x}$ растет экспоненциально, в то время как линейная функция $g(x) = -x - 2$ растет только линейно. Это означает, что для достаточно больших по модулю отрицательных $x$ значение $f(x)$ будет значительно больше $g(x)$. Например, при $x=-3$, $f(-3)=8$, $g(-3)=1$. При $x=-4$, $f(-4)=16$, $g(-4)=2$. Графики этих функций не пересекаются, и график $f(x)$ всегда лежит выше графика $g(x)$.

Таким образом, неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

в) Требуется найти значения $x$, для которых график $y = (\frac{1}{5})^x$ лежит ниже графика $y = 3x + 1$. Это соответствует неравенству $(\frac{1}{5})^x < 3x + 1$.

Рассмотрим функции $f(x) = (\frac{1}{5})^x$ (строго убывающая) и $g(x) = 3x + 1$ (строго возрастающая).

Такие функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения, решив уравнение $(\frac{1}{5})^x = 3x + 1$.

Подбором находим, что $x=0$ является корнем:

При $x=0$: $(\frac{1}{5})^0 = 1$

При $x=0$: $3(0) + 1 = 1$

Так как $f(0) = g(0)$, то $x=0$ — единственная точка пересечения.

Поскольку $f(x)$ убывает, а $g(x)$ возрастает, то при $x > 0$ будет выполняться $f(x) < g(x)$, а при $x < 0$ — $f(x) > g(x)$. Нам нужно, чтобы график показательной функции был ниже, что соответствует $x > 0$.

Ответ: $x \in (0; +\infty)$.

г) Нужно найти значения $x$, при которых $y = 3^x$ лежит ниже $y = -2x + 5$, то есть решить неравенство $3^x < -2x + 5$.

Рассмотрим функции $f(x) = 3^x$ (строго возрастающая) и $g(x) = -2x + 5$ (строго убывающая).

Графики этих функций могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку из уравнения $3^x = -2x + 5$.

Подбором находим корень $x=1$:

При $x=1$: $3^1 = 3$

При $x=1$: $-2(1) + 5 = 3$

Точка пересечения — $x=1$.

Так как $f(x)$ возрастает, а $g(x)$ убывает, то при $x < 1$ будет выполняться неравенство $f(x) < g(x)$, а при $x > 1$ — $f(x) > g(x)$. Нас интересует случай, когда график $y=3^x$ лежит ниже, то есть $x < 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1)$.