Номер 40.1, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.1, страница 160.

Решите уравнение:

40.1 а) $3^x = 9$;

б) $2^x = 16$;

в) $(\frac{1}{9})^x = 1$;

г) $0.5^x = 0.125$.

а) Чтобы решить показательное уравнение $3^x = 9$, необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 3. Число 9 можно представить как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$3^x = 3^2$
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 2$
Ответ: 2

б) В уравнении $2^x = 16$ приведем правую часть к основанию 2. Число 16 является четвертой степенью числа 2, так как $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Запишем уравнение в новом виде:
$2^x = 2^4$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$x = 4$
Ответ: 4

в) Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{9})^x = 1$. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. То есть, $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.
Представим 1 в виде степени с основанием $\frac{1}{9}$:
$1 = (\frac{1}{9})^0$
Теперь уравнение выглядит так:
$(\frac{1}{9})^x = (\frac{1}{9})^0$
Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:
$x = 0$
Ответ: 0

г) В уравнении $0,5^x = 0,125$ удобнее работать с обыкновенными дробями. Переведем десятичные дроби в обыкновенные:
$0,5 = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$
Уравнение принимает вид:
$(\frac{1}{2})^x = \frac{1}{8}$
Теперь представим правую часть $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием $\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $2^3 = 8$, следовательно $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = (\frac{1}{2})^3$.
Подставим это в уравнение:
$(\frac{1}{2})^x = (\frac{1}{2})^3$
Поскольку основания равны, показатели степеней также равны:
$x = 3$
Ответ: 3