Номер 40.2, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.2, страница 160.

40.2 a) $4^x = \frac{1}{16}$;

б) $7^x = \frac{1}{343}$;

в) $(\frac{1}{6})^x = 36$;

г) $0,2^x = 0,00032$.

а) Чтобы решить уравнение $4^x = \frac{1}{16}$, необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание 4. Правая часть уравнения, $\frac{1}{16}$, может быть представлена как степень числа 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Используя свойство степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$), мы можем записать $\frac{1}{16} = \frac{1}{4^2} = 4^{-2}$. Теперь исходное уравнение принимает вид $4^x = 4^{-2}$. Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели: $x = -2$.
Ответ: -2

б) Рассмотрим уравнение $7^x = \frac{1}{343}$. Аналогично предыдущему пункту, приведем обе части к общему основанию 7. Для этого нужно представить число 343 как степень семерки. Выполним вычисления: $7^2 = 49$, $7^3 = 49 \times 7 = 343$. Следовательно, $\frac{1}{343} = \frac{1}{7^3} = 7^{-3}$. Уравнение преобразуется к виду $7^x = 7^{-3}$. Приравнивая показатели степеней, получаем $x = -3$.
Ответ: -3

в) Решим уравнение $(\frac{1}{6})^x = 36$. Приведем обе части к основанию 6. Левую часть уравнения можно преобразовать следующим образом: $(\frac{1}{6})^x = (6^{-1})^x = 6^{-x}$. Правую часть уравнения, число 36, представим как степень числа 6: $36 = 6^2$. Таким образом, уравнение принимает вид $6^{-x} = 6^2$. Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: $-x = 2$. Умножив обе части на -1, находим $x = -2$.
Ответ: -2

г) Дано уравнение $0,2^x = 0,00032$. Проще всего решить это уравнение, если представить десятичные дроби в виде обыкновенных или привести их к одному основанию. Основание $0,2$ можно записать как $\frac{1}{5}$. Посмотрим, является ли $0,00032$ степенью числа $0,2$. $0,2^2 = 0,04$; $0,2^3 = 0,008$; $0,2^4 = 0,0016$; $0,2^5 = 0,00032$. Таким образом, уравнение можно переписать в виде $0,2^x = 0,2^5$. Отсюда, так как основания равны, следует, что $x=5$.
Альтернативный способ: $0,2 = \frac{1}{5}$ и $0,00032 = \frac{32}{100000} = \frac{1}{3125}$. Уравнение принимает вид $(\frac{1}{5})^x = \frac{1}{3125}$. Так как $3125 = 5^5$, то $\frac{1}{3125} = \frac{1}{5^5} = (\frac{1}{5})^5$. Получаем $(\frac{1}{5})^x = (\frac{1}{5})^5$, откуда $x=5$.
Ответ: 5