Номер 40.5, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.5, страница 160.

40.5 a) $2^{x+1} = 4;$

Б) $5^{3x-1} = 0.2;$

В) $0.4^{4-5x} = 0.16\sqrt{0.4};$

Г) $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}.$

а) Дано показательное уравнение $2^{x+1} = 4$. Для его решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. В данном случае это основание 2. Представим число 4 в виде степени с основанием 2: $4 = 2^2$. Теперь уравнение принимает вид: $2^{x+1} = 2^2$. Поскольку основания степеней в левой и правой частях равны, мы можем приравнять их показатели: $x + 1 = 2$. Решим полученное линейное уравнение: $x = 2 - 1$ $x = 1$. Ответ: 1.

б) Дано показательное уравнение $5^{3x-1} = 0,2$. Приведем обе части уравнения к основанию 5. Представим десятичную дробь 0,2 в виде обыкновенной дроби: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$. Используя свойство степеней, запишем $\frac{1}{5}$ как $5^{-1}$. Уравнение примет вид: $5^{3x-1} = 5^{-1}$. Так как основания степеней равны, приравниваем показатели: $3x - 1 = -1$. Решаем уравнение: $3x = -1 + 1$ $3x = 0$ $x = \frac{0}{3}$ $x = 0$. Ответ: 0.

в) Дано показательное уравнение $0,4^{4-5x} = 0,16\sqrt{0,4}$. Приведем обе части уравнения к основанию 0,4. Рассмотрим правую часть уравнения: $0,16\sqrt{0,4}$. Число $0,16$ можно представить как $(0,4)^2$. Квадратный корень из числа $\sqrt{0,4}$ можно представить как степень с дробным показателем: $(0,4)^{1/2}$. Тогда правая часть уравнения преобразуется следующим образом: $0,16\sqrt{0,4} = (0,4)^2 \cdot (0,4)^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $(0,4)^{2 + \frac{1}{2}} = (0,4)^{2,5}$. Теперь исходное уравнение выглядит так: $0,4^{4-5x} = 0,4^{2,5}$. Приравниваем показатели степеней: $4 - 5x = 2,5$. Решаем полученное уравнение: $-5x = 2,5 - 4$ $-5x = -1,5$ $x = \frac{-1,5}{-5}$ $x = 0,3$. Ответ: 0,3.

г) Дано показательное уравнение $(\frac{1}{2})^{2-x} = 8\sqrt{2}$. Для решения приведем обе части уравнения к основанию 2. Преобразуем левую часть. Так как $\frac{1}{2} = 2^{-1}$, то: $(\frac{1}{2})^{2-x} = (2^{-1})^{2-x} = 2^{-1 \cdot (2-x)} = 2^{-2+x} = 2^{x-2}$. Преобразуем правую часть. Число $8$ это $2^3$, а $\sqrt{2}$ это $2^{1/2}$. $8\sqrt{2} = 2^3 \cdot 2^{1/2}$. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $2^{3 + \frac{1}{2}} = 2^{3,5}$. Теперь уравнение имеет вид: $2^{x-2} = 2^{3,5}$. Приравниваем показатели степеней: $x - 2 = 3,5$. Решаем уравнение: $x = 3,5 + 2$ $x = 5,5$. Ответ: 5,5.