Номер 39.48, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.48, страница 159.

39.48 а) $2^x + 1 \ge \cos x;$

б) $2^{|x|} + 1 > 2 \cos x;$

в) $(\frac{1}{3})^x + 1 < \sin x;$

г) $3^{|x|} \le \cos 2x.$

а) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 2^x + 1$ и $g(x) = \cos x$.
Для решения неравенства $f(x) \ge g(x)$ оценим область значений каждой функции.
Область значений функции $g(x) = \cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого действительного числа $x$ выполняется неравенство $\cos x \le 1$.
Для функции $f(x) = 2^x + 1$: показательная функция $2^x$ всегда строго положительна, то есть $2^x > 0$ для любого $x$. Следовательно, $f(x) = 2^x + 1 > 1$.
Мы получили, что левая часть неравенства $2^x + 1$ всегда строго больше 1, а правая часть $\cos x$ всегда меньше или равна 1.
Таким образом, $2^x + 1 > 1 \ge \cos x$, из чего следует, что неравенство $2^x + 1 \ge \cos x$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 2^{|x|} + 1$ и $g(x) = 2\cos x$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = 2^{|x|} + 1$: так как $|x| \ge 0$, а функция $y=2^u$ является возрастающей, то наименьшее значение $2^{|x|}$ достигается при $x=0$ и равно $2^0 = 1$. Следовательно, наименьшее значение функции $f(x)$ равно $2^{|0|} + 1 = 1 + 1 = 2$. Таким образом, $2^{|x|} + 1 \ge 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = 2\cos x$: область значений функции $\cos x$ — это $[-1, 1]$, следовательно, область значений $g(x)$ — это $[-2, 2]$. Таким образом, $2\cos x \le 2$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Сравним левую и правую части. Мы имеем $2^{|x|} + 1 \ge 2$ и $2\cos x \le 2$.
Неравенство $2^{|x|} + 1 > 2\cos x$ может не выполняться только в том случае, если левая часть равна правой. Это возможно только если обе части равны 2.
$2^{|x|} + 1 = 2 \implies 2^{|x|} = 1 \implies |x| = 0 \implies x = 0$.
$2\cos x = 2 \implies \cos x = 1 \implies x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Общим решением системы является $x = 0$. Проверим это значение в исходном неравенстве:
$2^{|0|} + 1 > 2\cos(0) \implies 1 + 1 > 2 \cdot 1 \implies 2 > 2$.
Это утверждение ложно. Значит, $x=0$ не является решением.
Для всех $x \ne 0$, $|x| > 0$, поэтому $2^{|x|} > 1$ и $2^{|x|} + 1 > 2$. При этом $2\cos x \le 2$. Таким образом, для всех $x \ne 0$ неравенство $2^{|x|} + 1 > 2\cos x$ выполняется.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

в) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$ и $g(x) = \sin x$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1$: так как показательная функция $\left(\frac{1}{3}\right)^x$ всегда строго положительна, то $f(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^x + 1 > 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = \sin x$: область значений — это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, $\sin x \le 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$.
Итак, левая часть неравенства всегда строго больше 1, а правая часть — меньше или равна 1.
Неравенство $f(x) < g(x)$ не может выполняться ни при каких значениях $x$, так как $f(x) > 1 \ge g(x)$.
Ответ: нет решений.

г) Рассмотрим функции в левой и правой частях неравенства: $f(x) = 3^{|x|}$ и $g(x) = \cos(2x)$.
Оценим область значений каждой функции.
Для функции $f(x) = 3^{|x|}$: так как $|x| \ge 0$, а функция $y=3^u$ является возрастающей, то наименьшее значение $3^{|x|}$ достигается при $x=0$ и равно $3^0 = 1$. Таким образом, $3^{|x|} \ge 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Для функции $g(x) = \cos(2x)$: область значений функции косинус — это $[-1, 1]$. Таким образом, $\cos(2x) \le 1$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Неравенство $3^{|x|} \le \cos(2x)$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна правой, и обе они равны 1.
Это равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} 3^{|x|} = 1 \\ \cos(2x) = 1 \end{cases}$
Из первого уравнения $3^{|x|} = 1$ получаем $|x|=0$, что означает $x=0$.
Проверим, удовлетворяет ли это значение второму уравнению: $\cos(2 \cdot 0) = \cos(0) = 1$. Уравнение выполняется.
Таким образом, единственное значение, при котором неравенство может быть верным, это $x=0$.
Подставим $x=0$ в исходное неравенство: $3^{|0|} \le \cos(2 \cdot 0) \implies 1 \le 1$. Это верное утверждение.
Для любого $x \ne 0$, имеем $3^{|x|} > 1$, а $\cos(2x) \le 1$, поэтому неравенство не выполняется.
Ответ: $x=0$.