Номер 40.6, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.6, страница 161.

40.6 a) $3^{-1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3};$

б) $6^{2x-8} = 216^x;$

В) $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3};$

Г) $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}.$

а) Дано показательное уравнение $3^{1-x} = \left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3}$.
Для решения необходимо привести обе части уравнения к одному основанию. Основание в левой части — 3. Основание в правой части — $\frac{1}{3}$.
Мы знаем, что $\frac{1}{3}$ можно представить как $3^{-1}$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{2x+3} = (3^{-1})^{2x+3}$
Применяя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(3^{-1})^{2x+3} = 3^{-1 \cdot (2x+3)} = 3^{-2x-3}$
Теперь исходное уравнение можно переписать в виде:
$3^{1-x} = 3^{-2x-3}$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$1-x = -2x-3$
Решим это линейное уравнение:
$2x - x = -3 - 1$
$x = -4$
Ответ: -4.

б) Дано уравнение $6^{2x-8} = 216^x$.
Приведем обе части к основанию 6. Левая часть уже имеет основание 6.
Число 216 можно представить как степень числа 6: $216 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 6^3$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$216^x = (6^3)^x$
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$(6^3)^x = 6^{3x}$
Теперь уравнение выглядит так:
$6^{2x-8} = 6^{3x}$
Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:
$2x-8 = 3x$
Решим уравнение относительно $x$:
$-8 = 3x - 2x$
$x = -8$
Ответ: -8.

в) Дано уравнение $\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = 6^{x-3}$.
Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 6.
Представим основание левой части $\frac{1}{6}$ как степень числа 6: $\frac{1}{6} = 6^{-1}$.
Подставим это в левую часть:
$\left(\frac{1}{6}\right)^{4x-7} = (6^{-1})^{4x-7}$
Упростим, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(6^{-1})^{4x-7} = 6^{-1 \cdot (4x-7)} = 6^{-4x+7}$
Теперь уравнение имеет вид:
$6^{-4x+7} = 6^{x-3}$
Приравниваем показатели, так как основания равны:
$-4x+7 = x-3$
Решаем линейное уравнение:
$7+3 = x+4x$
$10 = 5x$
$x = \frac{10}{5}$
$x = 2$
Ответ: 2.

г) Дано уравнение $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = 1,5^{2x-3}$.
Приведем обе части к одному основанию. Для этого представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной:
$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$
Теперь уравнение выглядит так: $\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3}$.
Основания $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{2}$ являются взаимно обратными числами. Выразим одно через другое: $\frac{3}{2} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-1}$.
Подставим это в правую часть уравнения:
$\left(\frac{3}{2}\right)^{2x-3} = \left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{2x-3}$
Применим свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$\left(\left(\frac{2}{3}\right)^{-1}\right)^{2x-3} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-(2x-3)} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2x+3}$
Теперь уравнение имеет вид:
$\left(\frac{2}{3}\right)^{8x+1} = \left(\frac{2}{3}\right)^{-2x+3}$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$8x+1 = -2x+3$
Решаем полученное уравнение:
$8x+2x = 3-1$
$10x = 2$
$x = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 0,2$
Ответ: 0,2.