Номер 40.12, страница 161, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.12, страница 161.

40.12 a) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}};$

б) $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32};$

в) $3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}} = 243;$

г) $(0,1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}.$

а) $27^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{9^{x+1}}$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3. Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, уравнение принимает вид:

$(3^3)^{\sqrt{x-1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $\sqrt{a} = a^{1/2}$, получаем:

$3^{3\sqrt{x-1}} = (3^{2(x+1)})^{1/2}$

$3^{3\sqrt{x-1}} = 3^{(x+1)}$

Поскольку основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$3\sqrt{x-1} = x+1$

Для решения этого иррационального уравнения возведем обе части в квадрат. Поскольку при $x \ge 1$ правая часть $x+1$ всегда положительна, возведение в квадрат является равносильным преобразованием в области допустимых значений.

$(3\sqrt{x-1})^2 = (x+1)^2$

$9(x-1) = x^2 + 2x + 1$

$9x - 9 = x^2 + 2x + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Корни уравнения: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 1$).

Проверим корни, подставив их в уравнение $3\sqrt{x-1} = x+1$.
При $x=2$: $3\sqrt{2-1} = 3\sqrt{1} = 3$, и $2+1 = 3$. Верно.
При $x=5$: $3\sqrt{5-1} = 3\sqrt{4} = 6$, и $5+1 = 6$. Верно.

Ответ: $2; 5$.

б) $2^{\sqrt{13-x^2}} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{32}$

ОДЗ: $13-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 13 \implies -\sqrt{13} \le x \le \sqrt{13}$.

Упростим правую часть уравнения, используя свойства корней и степеней:

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$.

Теперь представим 8 как степень с основанием 2: $8 = 2^3$.

Уравнение принимает вид:

$2^{\sqrt{13-x^2}} = 2^3$

Приравниваем показатели степеней:

$\sqrt{13-x^2} = 3$

Возводим обе части в квадрат:

$13 - x^2 = 9$

$x^2 = 13 - 9$

$x^2 = 4$

Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ, так как $-\sqrt{13} \le -2 \le \sqrt{13}$ и $-\sqrt{13} \le 2 \le \sqrt{13}$.

Ответ: $-2; 2$.

в) $3^x \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x+1}} = 243$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Приведем все части уравнения к основанию 3. Известно, что $\frac{1}{3} = 3^{-1}$ и $243 = 3^5$.

Уравнение переписывается в виде:

$3^x \cdot (3^{-1})^{\sqrt{x+1}} = 3^5$

Используя свойства степеней, получаем:

$3^x \cdot 3^{-\sqrt{x+1}} = 3^5$

$3^{x - \sqrt{x+1}} = 3^5$

Приравниваем показатели:

$x - \sqrt{x+1} = 5$

Выразим корень:

$\sqrt{x+1} = x - 5$

Для существования решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$. Это условие является более строгим, чем исходное ОДЗ, поэтому будем его использовать.

Возведем обе части в квадрат:

$x+1 = (x-5)^2$

$x+1 = x^2 - 10x + 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 - 11x + 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней 11, произведение 24. Корни: $x_1 = 3$, $x_2 = 8$.

Проверим корни на соответствие условию $x \ge 5$.

$x_1 = 3$ не удовлетворяет условию $3 \ge 5$, значит, это посторонний корень.

$x_2 = 8$ удовлетворяет условию $8 \ge 5$.

Проверим корень $x=8$ в уравнении $\sqrt{x+1} = x - 5$: $\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$ и $8-5 = 3$. Верно.

Ответ: $8$.

г) $(0,1^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = \frac{1}{10^6}$

ОДЗ: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$ и $x+6 \ge 0 \implies x \ge -6$. Объединяя условия, получаем $x \ge -1$.

Приведем обе части к основанию 10. Так как $0,1 = 10^{-1}$ и $\frac{1}{10^6} = 10^{-6}$, уравнение принимает вид:

$((10^{-1})^{\sqrt{x+1}})^{\sqrt{x+6}} = 10^{-6}$

Упростим левую часть по свойству степени $(a^m)^n=a^{mn}$:

$10^{-\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x+6}} = 10^{-6}$

Используя свойство $\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$10^{-\sqrt{(x+1)(x+6)}} = 10^{-6}$

Приравниваем показатели степеней:

$-\sqrt{(x+1)(x+6)} = -6$

$\sqrt{(x+1)(x+6)} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$(x+1)(x+6) = 36$

$x^2 + 6x + x + 6 = 36$

$x^2 + 7x + 6 - 36 = 0$

$x^2 + 7x - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(1)(-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-7 + 13}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-7 - 13}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -1$).

$x_1 = 3$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -10$ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним корнем.

Ответ: $3$.