Номер 40.4, страница 160, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§40. Показательные уравнения и неравенства. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 40.4, страница 160.

40.4 a) $0.3^x = \frac{1000}{27};$

В) $0.7^x = \frac{1000}{343};$

б) $\left(\frac{4}{5}\right)^x = \frac{25}{16};$

Г) $\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{16}{81}.$

а) Решим уравнение $0,3^x = \frac{1000}{27}$.
Сначала представим десятичную дробь $0,3$ в виде обыкновенной дроби: $0,3 = \frac{3}{10}$.
Теперь представим правую часть уравнения в виде степени. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $27 = 3^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{27} = \frac{10^3}{3^3} = (\frac{10}{3})^3$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{10}{3})^3$.
Чтобы основания степеней в левой и правой частях уравнения были одинаковыми, воспользуемся свойством степени $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Тогда $(\frac{10}{3})^3 = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Получаем уравнение: $(\frac{3}{10})^x = (\frac{3}{10})^{-3}$.
Так как основания степеней равны, то равны и их показатели: $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

б) Решим уравнение $(\frac{4}{5})^x = \frac{25}{16}$.
Представим правую часть уравнения, дробь $\frac{25}{16}$, в виде степени.
Мы знаем, что $25 = 5^2$ и $16 = 4^2$.
Таким образом, $\frac{25}{16} = \frac{5^2}{4^2} = (\frac{5}{4})^2$.
Подставим это в исходное уравнение: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{5}{4})^2$.
Чтобы привести основания к одному виду, используем свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Получаем: $(\frac{5}{4})^2 = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Теперь уравнение выглядит так: $(\frac{4}{5})^x = (\frac{4}{5})^{-2}$.
Поскольку основания равны, приравниваем показатели степеней: $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

в) Решим уравнение $0,7^x = \frac{1000}{343}$.
Переведем $0,7$ в обыкновенную дробь: $0,7 = \frac{7}{10}$.
Представим правую часть $\frac{1000}{343}$ в виде степени. Заметим, что $1000 = 10^3$ и $343 = 7^3$.
Следовательно, $\frac{1000}{343} = \frac{10^3}{7^3} = (\frac{10}{7})^3$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{10}{7})^3$.
Приведем правую часть к основанию $\frac{7}{10}$, используя свойство $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
$(\frac{10}{7})^3 = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Получаем: $(\frac{7}{10})^x = (\frac{7}{10})^{-3}$.
Так как основания равны, можем приравнять показатели: $x = -3$.
Ответ: $x = -3$.

г) Решим уравнение $(\frac{3}{2})^x = \frac{16}{81}$.
Представим правую часть уравнения $\frac{16}{81}$ в виде степени.
Мы знаем, что $16 = 2^4$ и $81 = 3^4$.
Поэтому, $\frac{16}{81} = \frac{2^4}{3^4} = (\frac{2}{3})^4$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{2}{3})^4$.
Чтобы сделать основания одинаковыми, воспользуемся свойством $(\frac{a}{b})^n = (\frac{b}{a})^{-n}$.
Тогда $(\frac{2}{3})^4 = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Уравнение преобразуется к виду: $(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^{-4}$.
Приравнивая показатели степеней, получаем: $x = -4$.
Ответ: $x = -4$.