Номер 39.45, страница 159, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.45, страница 159.

39.45 а) $2^x = \frac{2}{x}$;

б) $\left(\frac{1}{4}\right)^x = -\frac{4}{x}$;

в) $5^x = \frac{5}{x}$;

г) $\left(\frac{1}{8}\right)^x = -\frac{8}{x}$.

а) $2^x = \frac{2}{x}$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение находится подбором с последующим доказательством единственности корня. Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения: $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = 2^x$ и $y_2 = \frac{2}{x}$.

Функция $y_1 = 2^x$ является показательной, она определена для всех $x$ и принимает только положительные значения ($y_1 > 0$). Так как основание степени $2 > 1$, функция является возрастающей на всей числовой оси.

Функция $y_2 = \frac{2}{x}$ является гиперболой. Поскольку $y_1 > 0$, то и $y_2$ должно быть больше нуля: $\frac{2}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$.

Таким образом, корень уравнения (если он существует) должен быть положительным. На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y_1 = 2^x$ является возрастающей, а функция $y_2 = \frac{2}{x}$ — убывающей. Если корень существует, то он единственный, так как возрастающая и убывающая функции могут пересечься не более одного раза.

Подберем корень. Попробуем $x = 1$.

Левая часть: $2^1 = 2$.

Правая часть: $\frac{2}{1} = 2$.

Так как $2 = 2$, то $x = 1$ является корнем уравнения. Поскольку мы доказали, что корень может быть только один, это и есть решение.

Ответ: $x=1$.

б) $(\frac{1}{4})^x = -\frac{4}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим две функции: $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ и $y_2 = -\frac{4}{x}$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, всегда положительна ($y_1 > 0$). Так как основание $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является убывающей на всей числовой оси.

Так как $y_1 > 0$, то и $y_2$ должно быть больше нуля: $-\frac{4}{x} > 0$, что эквивалентно $\frac{4}{x} < 0$. Это неравенство выполняется при $x < 0$.

Следовательно, корень уравнения (если он существует) должен быть отрицательным. На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{4})^x$ является убывающей, а функция $y_2 = -\frac{4}{x}$ является возрастающей. Убывающая и возрастающая функции могут пересечься не более одного раза, значит, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Попробуем $x = -1$.

Левая часть: $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$.

Правая часть: $-\frac{4}{-1} = 4$.

Так как $4 = 4$, то $x = -1$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть решение.

Ответ: $x=-1$.

в) $5^x = \frac{5}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = 5^x$ и $y_2 = \frac{5}{x}$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, возрастающая ($5 > 1$) и всегда положительная.

Из условия $y_1 > 0$ следует, что $y_2 = \frac{5}{x} > 0$, что выполняется при $x > 0$.

На промежутке $(0; +\infty)$ функция $y_1 = 5^x$ возрастает, а функция $y_2 = \frac{5}{x}$ убывает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим $x = 1$.

Левая часть: $5^1 = 5$.

Правая часть: $\frac{5}{1} = 5$.

Равенство выполняется, значит $x = 1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=1$.

г) $(\frac{1}{8})^x = -\frac{8}{x}$

ОДЗ: $x \neq 0$.

Рассмотрим функции $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ и $y_2 = -\frac{8}{x}$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ — показательная, убывающая ($0 < \frac{1}{8} < 1$) и всегда положительная.

Из $y_1 > 0$ следует, что $y_2 = -\frac{8}{x} > 0$, или $\frac{8}{x} < 0$, что выполняется при $x < 0$.

На промежутке $(-\infty; 0)$ функция $y_1 = (\frac{1}{8})^x$ убывает, а функция $y_2 = -\frac{8}{x}$ возрастает. Следовательно, уравнение имеет не более одного корня.

Подберем корень. Проверим $x = -1$.

Левая часть: $(\frac{1}{8})^{-1} = 8$.

Правая часть: $-\frac{8}{-1} = 8$.

Равенство выполняется, значит $x = -1$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=-1$.