Номер 39.15, страница 155, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.15, страница 155.

39.15 Сравните с единицей заданное число:

а) $17^{-\frac{3}{4}}$;

б) $(9,1)^{\sqrt{7}}$;

в) $\left(\frac{5}{3}\right)^{-2,5}$;

г) $\left(\frac{1}{2}\right)^{8}$.

а) Чтобы сравнить число $17^{-\frac{3}{4}}$ с единицей, необходимо проанализировать его основание и показатель степени. Основание степени $a = 17$, что является числом, большим 1 ($a > 1$). Показатель степени $x = -\frac{3}{4}$, что является отрицательным числом ($x < 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x < 0$, то значение функции $a^x < 1$. Это следует из того, что $a^x < a^0$, а любое число в нулевой степени равно 1. Таким образом, $17^{-\frac{3}{4}} < 17^0$, что эквивалентно $17^{-\frac{3}{4}} < 1$.
Ответ: $17^{-\frac{3}{4}} < 1$.

б) Рассмотрим число $(9,1)^{\sqrt{7}}$. Основание степени $a = 9,1$, что больше 1 ($a > 1$). Показатель степени $x = \sqrt{7}$. Поскольку $7 > 0$, то и $\sqrt{7} > 0$, то есть показатель степени является положительным числом ($x > 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $a > 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x > 0$, то значение функции $a^x > 1$. Это следует из того, что $a^x > a^0 = 1$. Следовательно, $(9,1)^{\sqrt{7}} > 1$.
Ответ: $(9,1)^{\sqrt{7}} > 1$.

в) Сравним с единицей число $(\frac{5}{3})^{-2,5}$. Основание степени $a = \frac{5}{3}$. Так как числитель 5 больше знаменателя 3, то дробь $\frac{5}{3} > 1$. Показатель степени $x = -2,5$, что является отрицательным числом ($x < 0$). Аналогично пункту а), для основания, большего 1, и отрицательного показателя, значение степени будет меньше 1. Таким образом, $(\frac{5}{3})^{-2,5} < (\frac{5}{3})^0$, что означает $(\frac{5}{3})^{-2,5} < 1$.
Другой способ: воспользуемся свойством степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Тогда $(\frac{5}{3})^{-2,5} = (\frac{3}{5})^{2,5}$. Теперь у нас новое основание $a' = \frac{3}{5}$, которое меньше 1 ($0 < a' < 1$), и положительный показатель $x' = 2,5$ ($x' > 0$). Для основания $0 < a' < 1$ и положительного показателя $x' > 0$ значение степени всегда меньше 1, то есть $(a')^{x'} < 1$. Следовательно, $(\frac{3}{5})^{2,5} < 1$.
Ответ: $(\frac{5}{3})^{-2,5} < 1$.

г) Рассмотрим число $(\frac{1}{2})^8$. Основание степени $a = \frac{1}{2}$. В данном случае основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < a < 1$). Показатель степени $x = 8$, что является положительным числом ($x > 0$). Для степенной функции $y = a^x$ с основанием $0 < a < 1$ справедливо следующее: если показатель степени $x > 0$, то значение функции $a^x < 1$. Это следует из того, что $a^x < a^0 = 1$. Значит, $(\frac{1}{2})^8 < 1$.
Ответ: $(\frac{1}{2})^8 < 1$.