Номер 39.11, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.11, страница 154.

39.11 Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) $y = 4x - 1$;

б) $y = 18^x$;

в) $y = -3x^2 + 8$;

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$.

Функция называется ограниченной снизу, если существует такое число $m$, что для любого $x$ из области определения функции выполняется неравенство $y(x) \ge m$. Проанализируем каждую из предложенных функций.

а) $y = 4x - 1$

Это линейная функция. Её графиком является прямая линия с угловым коэффициентом $k=4$. Область значений данной функции — множество всех действительных чисел, то есть $E(y) = (-\infty; +\infty)$. Так как функция может принимать сколь угодно малые отрицательные значения, она не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

б) $y = 18^x$

Это показательная функция с основанием $a = 18$, где $a > 1$. По свойству показательной функции, её область значений — множество всех положительных действительных чисел, то есть $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого $x$ значение $y$ всегда будет больше нуля ($y > 0$). Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.

в) $y = -3x^2 + 8$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-3 < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз. Максимальное значение функция достигает в своей вершине. Абсцисса вершины $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2(-3)} = 0$. Ордината вершины $y_0 = -3(0)^2 + 8 = 8$. Таким образом, область значений функции $E(y) = (-\infty; 8]$. Функция ограничена сверху числом 8, но не ограничена снизу.

Ответ: не ограничена снизу.

г) $y = \left(\frac{4}{11}\right)^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{4}{11}$, где $0 < a < 1$. Аналогично функции из пункта б), область значений любой показательной функции с положительным основанием, не равным единице, есть множество всех положительных чисел: $E(y) = (0; +\infty)$. Это значит, что $y > 0$ при любом значении $x$. Следовательно, функция ограничена снизу, например, числом 0.

Ответ: ограничена снизу.