Номер 39.9, страница 154, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.9, страница 154.

39.9 Найдите значение аргумента $x$, при котором функция $y = 2^x$ принимает заданное значение:

а) 16;

б) $8\sqrt{2}$;

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

а) 16;

Для нахождения значения аргумента $x$ необходимо решить уравнение $2^x = y$, подставив в него заданное значение $y=16$.
Получаем уравнение: $2^x = 16$.
Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2. Поскольку $16 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4$, уравнение принимает вид:
$2^x = 2^4$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, то и их показатели должны быть равны.
Следовательно, $x = 4$.
Ответ: $4$.

б) $8\sqrt{2}$;

Решим уравнение $2^x = 8\sqrt{2}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Для этого представим каждый множитель в правой части как степень двойки: $8 = 2^3$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Тогда уравнение примет вид:
$2^x = 2^3 \cdot 2^{1/2}$
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели в правой части:
$2^x = 2^{3 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = 2^{7/2}$
Приравнивая показатели степеней, получаем $x = \frac{7}{2}$.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

в) $\frac{1}{\sqrt{2}}$;

Решим уравнение $2^x = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Сначала запишем знаменатель как степень двойки: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Уравнение примет вид:
$2^x = \frac{1}{2^{1/2}}$
Используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$2^x = 2^{-1/2}$
Приравнивая показатели степеней, находим $x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\frac{1}{32\sqrt{2}}$.

Решим уравнение $2^x = \frac{1}{32\sqrt{2}}$.
Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Для этого преобразуем знаменатель. Представим каждый множитель в знаменателе как степень двойки: $32 = 2^5$ и $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.
Следовательно, знаменатель равен: $32\sqrt{2} = 2^5 \cdot 2^{1/2} = 2^{5+\frac{1}{2}} = 2^{\frac{10}{2}+\frac{1}{2}} = 2^{11/2}$.
Теперь уравнение выглядит так:
$2^x = \frac{1}{2^{11/2}}$
Используя свойство $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$2^x = 2^{-11/2}$
Отсюда следует, что $x = -\frac{11}{2}$.
Ответ: $-\frac{11}{2}$.