Номер 39.3, страница 153, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§39. Показательная функция, её свойства и график. Глава 7. Показательная и логарифмическая функции. ч. 2 - номер 39.3, страница 153.

39.3 Определите, какое из чисел, $5^{x_1}$ или $5^{x_2}$, больше, если:

а) $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = \frac{4}{5}$;

б) $x_1 = -\frac{7}{3}$, $x_2 = -\frac{6}{5}$;

в) $x_1 = \frac{3}{5}$, $x_2 = \frac{4}{7}$;

г) $x_1 = -\frac{3}{8}$, $x_2 = -\frac{11}{9}$.

Для того чтобы определить, какое из чисел $5^{x_1}$ или $5^{x_2}$ больше, необходимо сравнить их показатели степени $x_1$ и $x_2$. Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a > 1$ является возрастающей. В данном случае основание $a=5$, что больше 1, поэтому функция $y=5^x$ возрастает на всей своей области определения. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции: если $x_1 > x_2$, то $5^{x_1} > 5^{x_2}$, а если $x_1 < x_2$, то $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

а) Дано $x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4}{5}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$x_1 = \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$

$x_2 = \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15}$

Поскольку $10 < 12$, то $\frac{10}{15} < \frac{12}{15}$, следовательно, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из неравенства $x_1 < x_2$ следует, что $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_2}$ больше.

б) Дано $x_1 = -\frac{7}{3}$ и $x_2 = -\frac{6}{5}$.

Сравним отрицательные показатели. Для этого сначала сравним их модули, приведя дроби к общему знаменателю 15:

$|x_1| = \frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{35}{15}$

$|x_2| = \frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{18}{15}$

Так как $35 > 18$, то $\frac{35}{15} > \frac{18}{15}$, то есть $|x_1| > |x_2|$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{7}{3} < -\frac{6}{5}$, следовательно, $x_1 < x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 < x_2$ следует, что $5^{x_1} < 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_2}$ больше.

в) Дано $x_1 = \frac{3}{5}$ и $x_2 = \frac{4}{7}$.

Сравним показатели $x_1$ и $x_2$, приведя дроби к общему знаменателю 35:

$x_1 = \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$

$x_2 = \frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

Поскольку $21 > 20$, то $\frac{21}{35} > \frac{20}{35}$, следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_1}$ больше.

г) Дано $x_1 = -\frac{3}{8}$ и $x_2 = -\frac{11}{9}$.

Сравним отрицательные показатели. Для этого сначала сравним их модули: $|x_1| = \frac{3}{8}$ и $|x_2| = \frac{11}{9}$.

Дробь $\frac{3}{8}$ является правильной, поэтому $\frac{3}{8} < 1$. Дробь $\frac{11}{9}$ является неправильной, так как числитель больше знаменателя, поэтому $\frac{11}{9} > 1$.

Следовательно, $\frac{3}{8} < \frac{11}{9}$, что означает $|x_1| < |x_2|$.

При сравнении отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{8} > -\frac{11}{9}$, следовательно, $x_1 > x_2$.

Так как функция $y=5^x$ является возрастающей, из $x_1 > x_2$ следует, что $5^{x_1} > 5^{x_2}$.

Ответ: число $5^{x_1}$ больше.