Номер 38.38, страница 152, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.38, страница 152.

38.38 Исследуйте функцию на монотонность и экстремум и постройте её график:

а) $y = \sqrt{x} - x;$

б) $y = x\sqrt{x+2}.$

а) $y = \sqrt{x} - x$

1. Область определения.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки.
Найдем производную функции:$y' = (\sqrt{x} - x)' = (x^{1/2} - x)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 1 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1$.
Производная определена для всех $x > 0$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$.Также критической точкой является точка $x=0$, в которой производная не существует (и это граница области определения).

3. Промежутки монотонности.
Критические точки $x=0$ и $x=1/4$ разбивают область определения на промежутки $(0, 1/4)$ и $(1/4, +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
- При $x \in (0, 1/4)$, например $x=1/16$, имеем $y'(1/16) = \frac{1}{2\sqrt{1/16}} - 1 = \frac{1}{2 \cdot 1/4} - 1 = 2 - 1 = 1 > 0$. Значит, на промежутке $[0, 1/4]$ функция возрастает.
- При $x \in (1/4, +\infty)$, например $x=1$, имеем $y'(1) = \frac{1}{2\sqrt{1}} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -1/2 < 0$. Значит, на промежутке $[1/4, +\infty)$ функция убывает.

4. Точки экстремума.
В точке $x=1/4$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума.
$y_{max} = y(1/4) = \sqrt{1/4} - 1/4 = 1/2 - 1/4 = 1/4$.
Точка максимума: $(1/4, 1/4)$.
В точке $x=0$ функция начинает возрастать, это точка локального минимума (краевой экстремум).
$y_{min} = y(0) = \sqrt{0} - 0 = 0$.
Точка минимума: $(0, 0)$.

5. Построение графика.
Для построения графика найдем еще несколько точек.
Точки пересечения с осями координат:- с осью Oy: $x=0, y=0 \implies (0,0)$.- с осью Ox: $y=0 \implies \sqrt{x}-x=0 \implies \sqrt{x}(1-\sqrt{x})=0 \implies x=0$ или $x=1$. Точки $(0,0)$ и $(1,0)$.
Контрольные точки:- $x=4, y = \sqrt{4}-4 = 2-4=-2$.График функции начинается в точке (0,0), возрастает до точки максимума (1/4, 1/4), затем убывает, пересекая ось Ox в точке (1,0) и уходя в $-\infty$.

Ответ: Функция возрастает на промежутке $[0, 1/4]$ и убывает на промежутке $[1/4, +\infty)$. Точка максимума $(1/4, 1/4)$. Точка минимума $(0, 0)$. График представлен выше.

---

б) $y = x\sqrt{x} + 2$

1. Область определения.
Функцию можно записать в виде $y=x^{3/2}+2$. Подкоренное выражение $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.
Следовательно, область определения функции $D(y) = [0, +\infty)$.

2. Производная и критические точки.
Найдем производную функции:$y' = (x^{3/2} + 2)' = \frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{3\sqrt{x}}{2}$.
Производная определена для всех $x \ge 0$.Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:$y' = 0 \implies \frac{3\sqrt{x}}{2} = 0 \implies x = 0$.Единственная критическая точка — это $x=0$, которая является границей области определения.

3. Промежутки монотонности.
Рассмотрим знак производной на всей области определения $(0, +\infty)$.
Для любого $x > 0$ имеем $\sqrt{x} > 0$, следовательно, $y' = \frac{3\sqrt{x}}{2} > 0$.Это означает, что функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$.

4. Точки экстремума.
Поскольку функция монотонно возрастает, у нее нет точек локального максимума или минимума внутри области определения.Минимальное значение функция принимает в начальной точке своей области определения, то есть при $x=0$.$y_{min} = y(0) = 0 \cdot \sqrt{0} + 2 = 2$.
Таким образом, точка $(0, 2)$ является точкой глобального минимума.
Для определения характера выпуклости графика найдем вторую производную:
$y'' = (\frac{3}{2}x^{1/2})' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{3}{4\sqrt{x}}$.
Поскольку $y''>0$ для всех $x>0$, график функции является выпуклым вниз (вогнутым) на всей области определения.

5. Построение графика.
Для построения графика найдем несколько точек.
- Начальная точка (минимум): $(0, 2)$.
- Пересечений с осью Ox нет, так как $y=x\sqrt{x}+2 \ge 2$ для всех $x \ge 0$.
Контрольные точки:- $x=1, y = 1\sqrt{1}+2 = 3$.- $x=4, y = 4\sqrt{4}+2 = 4 \cdot 2 + 2 = 10$.
График функции начинается в точке (0,2) и монотонно возрастает, становясь все круче, уходя в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на всей области определения $[0, +\infty)$. Точка минимума $(0, 2)$. Локальных экстремумов внутри области определения нет. График представлен выше.