Номер 38.32, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.32, страница 151.

38.32 Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном промежутке:

а) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $[1; 9];$

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $(0; 8);$

в) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, $(1; 9);$

г) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $[0; 8].$

а) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, на отрезке $[1; 9]$

1. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке, найдем ее значения в критических точках, принадлежащих этому отрезку, и на его концах. Представим функцию в виде $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 2 = \sqrt{x} - 2$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$:

$\sqrt{x} - 2 = 0 \implies \sqrt{x} = 2 \implies x = 4$.

Критическая точка $x=4$ принадлежит отрезку $[1; 9]$.

4. Вычислим значения функции в точке $x=4$ и на концах отрезка $x=1$ и $x=9$:

$y(1) = \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 1 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3}$.

$y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 4 = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 - 8 = \frac{2}{3} \cdot 8 - 8 = \frac{16}{3} - \frac{24}{3} = -\frac{8}{3}$.

$y(9) = \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 9 = \frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 - 18 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 18 = 18 - 18 = 0$.

5. Сравнивая полученные значения ($-\frac{4}{3}$, $-\frac{8}{3}$, $0$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $-\frac{8}{3}$, а наибольшее равно $0$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшее значение $y_{max} = 0$.

б) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, на интервале $(0; 8)$

1. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на интервале, найдем ее критические точки и исследуем поведение на границах интервала.

2. Найдем производную функции:

$y' = (\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x)' = \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} - 1 = x^{-\frac{1}{3}} - 1 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

3. Найдем критические точки. Производная равна нулю при $x=1$. Производная не определена при $x=0$, но эта точка не принадлежит интервалу $(0; 8)$.

Критическая точка $x=1$ принадлежит интервалу $(0; 8)$. При переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус (например, $y'(0.125) = 1 > 0$, $y'(8) = -0.5 < 0$), следовательно, $x=1$ — точка максимума.

4. Значение функции в точке максимума: $y(1) = \frac{3}{2}(1)^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$. Это наибольшее значение функции на данном интервале.

5. Так как интервал открытый, наименьшее значение может не достигаться. Найдем пределы функции на границах интервала:

$\lim_{x \to 0^+} y(x) = \frac{3}{2}(0)^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.

$\lim_{x \to 8^-} y(x) = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6-8 = -2$.

6. Функция стремится к $-2$ при $x \to 8^-$, но не достигает этого значения внутри интервала $(0; 8)$. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$, наименьшего значения не существует.

в) $y = \frac{2}{3}x\sqrt{x} - 2x$, на интервале $(1; 9)$

1. Функция и ее производная такие же, как в пункте а): $y = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - 2x$, $y' = \sqrt{x} - 2$.

2. Критическая точка $x=4$ принадлежит интервалу $(1; 9)$. При переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс (например, $y'(2) = \sqrt{2}-2 < 0$, $y'(5) = \sqrt{5}-2 > 0$), следовательно, $x=4$ — точка минимума.

3. Значение функции в точке минимума: $y(4) = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 4 = -\frac{8}{3}$. Это наименьшее значение функции на данном интервале.

4. Так как интервал открытый, наибольшее значение может не достигаться. Найдем пределы функции на границах интервала:

$\lim_{x \to 1^+} y(x) = \frac{2}{3}(1)^{\frac{3}{2}} - 2(1) = -\frac{4}{3}$.

$\lim_{x \to 9^-} y(x) = \frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(9) = 0$.

5. Функция стремится к $0$ при $x \to 9^-$, но не достигает этого значения внутри интервала $(1; 9)$. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -\frac{8}{3}$, наибольшего значения не существует.

г) $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, на отрезке $[0; 8]$

1. Функция и ее производная такие же, как в пункте б): $y = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} - x$, $y' = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - 1$.

2. Найдем критические точки. Уравнение $y'=0$ дает $x=1$. Производная не определена при $x=0$. Обе точки, $x=0$ и $x=1$, принадлежат отрезку $[0; 8]$.

3. Вычислим значения функции в критических точках $x=0$, $x=1$ и на правом конце отрезка $x=8$:

$y(0) = \frac{3}{2} \cdot 0^{\frac{2}{3}} - 0 = 0$.

$y(1) = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.

$y(8) = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} - 8 = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 - 8 = \frac{3}{2} \cdot 4 - 8 = 6 - 8 = -2$.

4. Сравнивая полученные значения ($0$, $\frac{1}{2}$, $-2$), заключаем, что наименьшее значение функции равно $-2$, а наибольшее равно $\frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $y_{min} = -2$, наибольшее значение $y_{max} = \frac{1}{2}$.