Номер 38.30, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.30, страница 150.

38.30 Напишите уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$:

а) $y = x^4 - 3x^3, a = 2;$

б) $y = \sqrt[3]{3x - 1}, a = 3;$

в) $y = 3x^3 - 5x^2 - 4, a = 2;$

г) $y = (2x + 5)^{-\frac{1}{2}}, a = 2.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x=a$ задается формулой:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Для нахождения уравнения касательной для каждой функции мы последовательно найдем:
1. Значение функции в точке касания $f(a)$.
2. Производную функции $f'(x)$.
3. Значение производной в точке касания $f'(a)$, которое равно угловому коэффициенту касательной.
4. Подставим найденные значения в общую формулу уравнения касательной и упростим выражение.

а) $y = x^4 - 3x^3, a = 2$

1. Найдем значение функции в точке $a=2$:
$f(a) = f(2) = 2^4 - 3 \cdot 2^3 = 16 - 3 \cdot 8 = 16 - 24 = -8$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 - 3x^3)' = 4x^3 - 9x^2$.

3. Найдем значение производной в точке $a=2$:
$f'(a) = f'(2) = 4 \cdot 2^3 - 9 \cdot 2^2 = 4 \cdot 8 - 9 \cdot 4 = 32 - 36 = -4$.

4. Подставим значения $a=2$, $f(2)=-8$ и $f'(2)=-4$ в уравнение касательной:
$y = -8 + (-4)(x - 2)$
$y = -8 - 4x + 8$
$y = -4x$

Ответ: $y = -4x$

б) $y = \sqrt[3]{3x - 1}, a = 3$

Запишем функцию в виде $f(x) = (3x-1)^{\frac{1}{3}}$.

1. Найдем значение функции в точке $a=3$:
$f(a) = f(3) = \sqrt[3]{3 \cdot 3 - 1} = \sqrt[3]{9 - 1} = \sqrt[3]{8} = 2$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = ((3x-1)^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3}(3x-1)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (3x-1)' = \frac{1}{3}(3x-1)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x-1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(3x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=3$:
$f'(a) = f'(3) = \frac{1}{\sqrt[3]{(3 \cdot 3 - 1)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим значения $a=3$, $f(3)=2$ и $f'(3)=\frac{1}{4}$ в уравнение касательной:
$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 3)$
$y = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{3}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x + \frac{5}{4}$

в) $y = 3x^3 - 5x^2 - 4, a = 2$

1. Найдем значение функции в точке $a=2$:
$f(a) = f(2) = 3 \cdot 2^3 - 5 \cdot 2^2 - 4 = 3 \cdot 8 - 5 \cdot 4 - 4 = 24 - 20 - 4 = 0$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (3x^3 - 5x^2 - 4)' = 9x^2 - 10x$.

3. Найдем значение производной в точке $a=2$:
$f'(a) = f'(2) = 9 \cdot 2^2 - 10 \cdot 2 = 9 \cdot 4 - 20 = 36 - 20 = 16$.

4. Подставим значения $a=2$, $f(2)=0$ и $f'(2)=16$ в уравнение касательной:
$y = 0 + 16(x - 2)$
$y = 16x - 32$

Ответ: $y = 16x - 32$

г) $y = (2x + 5)^{-\frac{1}{2}}, a = 2$

Функция также может быть записана как $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2x+5}}$.

1. Найдем значение функции в точке $a=2$:
$f(a) = f(2) = (2 \cdot 2 + 5)^{-\frac{1}{2}} = 9^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$.

2. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = ((2x+5)^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2}(2x+5)^{-\frac{1}{2}-1} \cdot (2x+5)' = -\frac{1}{2}(2x+5)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(2x+5)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{(2x+5)^{\frac{3}{2}}}$.

3. Найдем значение производной в точке $a=2$:
$f'(a) = f'(2) = -(2 \cdot 2 + 5)^{-\frac{3}{2}} = -9^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = -\frac{1}{(\sqrt{9})^3} = -\frac{1}{3^3} = -\frac{1}{27}$.

4. Подставим значения $a=2$, $f(2)=\frac{1}{3}$ и $f'(2)=-\frac{1}{27}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{27})(x - 2)$
$y = \frac{1}{3} - \frac{1}{27}x + \frac{2}{27}$
$y = -\frac{1}{27}x + \frac{9}{27} + \frac{2}{27}$
$y = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$

Ответ: $y = -\frac{1}{27}x + \frac{11}{27}$