Номер 38.26, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.26, страница 150.

38.26 а) $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$;

б) $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$;

В) $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}};

Г) $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}.

а) Дана функция $y = 2x^4 + x\sqrt{x}$.
Для нахождения производной сначала преобразуем функцию, представив все её члены в виде степенной функции $x^n$. Второй член функции $x\sqrt{x}$ можно записать как произведение степеней:
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1 + 1/2} = x^{3/2}$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 2x^4 + x^{3/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u'+v'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (2x^4 + x^{3/2})' = (2x^4)' + (x^{3/2})' = 2 \cdot 4x^{4-1} + \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = 8x^3 + \frac{3}{2}x^{1/2}$.
Преобразуем результат, представив дробную степень обратно в виде корня: $x^{1/2} = \sqrt{x}$.
Ответ: $y' = 8x^3 + \frac{3}{2}\sqrt{x}$.

б) Дана функция $y = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} + 3x^6 - 1$.
Сначала преобразуем функцию, представив все её члены в виде степенной функции $x^n$.
$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{2}{x^{1/3}} = 2x^{-1/3}$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = 2x^{-1/3} + 3x^6 - 1$.
Находим производную, используя правила дифференцирования. Производная константы равна нулю (т.е. $(-1)'=0$ ).
$y' = (2x^{-1/3} + 3x^6 - 1)' = (2x^{-1/3})' + (3x^6)' - (1)'$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:
$y' = 2 \cdot (-\frac{1}{3})x^{-\frac{1}{3}-1} + 3 \cdot 6x^{6-1} - 0 = -\frac{2}{3}x^{-4/3} + 18x^5$.
Преобразуем результат, представив отрицательную степень в виде дроби и корня: $x^{-4/3} = \frac{1}{x^{4/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^4}}$.
Ответ: $y' = 18x^5 - \frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}$.

в) Дана функция $y = x^5 - \frac{1}{\sqrt{x}}$.
Сначала преобразуем функцию, представив все её члены в виде степенной функции $x^n$.
$\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{x^{1/2}} = x^{-1/2}$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = x^5 - x^{-1/2}$.
Находим производную, используя правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u'-v'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^5 - x^{-1/2})' = (x^5)' - (x^{-1/2})' = 5x^{5-1} - (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} = 5x^4 + \frac{1}{2}x^{-3/2}$.
Преобразуем результат, представив отрицательную степень в виде дроби и корня: $x^{-3/2} = \frac{1}{x^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^3}} = \frac{1}{x\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 5x^4 + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$.

г) Дана функция $y = x^3 - 7x\sqrt[5]{x}$.
Сначала преобразуем функцию, представив все её члены в виде степенной функции $x^n$.
$7x\sqrt[5]{x} = 7x^1 \cdot x^{1/5} = 7x^{1 + 1/5} = 7x^{6/5}$.
Таким образом, функция принимает вид: $y = x^3 - 7x^{6/5}$.
Находим производную, используя правило дифференцирования разности функций $(u-v)' = u'-v'$ и формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$.
$y' = (x^3 - 7x^{6/5})' = (x^3)' - (7x^{6/5})' = 3x^{3-1} - 7 \cdot \frac{6}{5}x^{\frac{6}{5}-1} = 3x^2 - \frac{42}{5}x^{1/5}$.
Преобразуем результат, представив дробную степень обратно в виде корня: $x^{1/5} = \sqrt[5]{x}$.
Ответ: $y' = 3x^2 - \frac{42}{5}\sqrt[5]{x}$.