Номер 38.21, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.21, страница 149.

38.21 Известно, что $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Найдите:

а) $f(8x^3)$;

б) $f(x^{-6})$;

в) $f(\frac{1}{27}x)$;

г) $f(x^{12})$.

Дана функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$. Для нахождения значений функции от заданных аргументов, необходимо подставить каждый аргумент вместо $x$ в исходную формулу и упростить полученное выражение, используя свойства степеней.

а) $f(8x^3)$

Подставим выражение $8x^3$ в функцию $f(x)$:

$f(8x^3) = (8x^3)^{-\frac{2}{3}}$

Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(8x^3)^{-\frac{2}{3}} = 8^{-\frac{2}{3}} \cdot (x^3)^{-\frac{2}{3}}$

Вычислим значение для каждого множителя. Для числового множителя $8 = 2^3$:

$8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

Для множителя с переменной применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^3)^{-\frac{2}{3}} = x^{3 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-2}$

Перемножим полученные результаты:

$f(8x^3) = \frac{1}{4}x^{-2}$

Ответ: $\frac{1}{4}x^{-2}$.

б) $f(x^{-6})$

Подставим $x^{-6}$ в функцию:

$f(x^{-6}) = (x^{-6})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{-6})^{-\frac{2}{3}} = x^{-6 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{\frac{12}{3}} = x^4$

Ответ: $x^4$.

в) $f(\frac{1}{27}x)$

Подставим $\frac{1}{27}x$ в функцию:

$f(\frac{1}{27}x) = (\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}}$

Применим свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$:

$(\frac{1}{27}x)^{-\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{-\frac{2}{3}}$

Вычислим числовой множитель, учитывая, что $\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$:

$(\frac{1}{27})^{-\frac{2}{3}} = (3^{-3})^{-\frac{2}{3}} = 3^{-3 \cdot (-\frac{2}{3})} = 3^2 = 9$

Таким образом, получаем:

$f(\frac{1}{27}x) = 9x^{-\frac{2}{3}}$

Ответ: $9x^{-\frac{2}{3}}$.

г) $f(x^{12})$

Подставим $x^{12}$ в функцию:

$f(x^{12}) = (x^{12})^{-\frac{2}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^{12})^{-\frac{2}{3}} = x^{12 \cdot (-\frac{2}{3})} = x^{-\frac{24}{3}} = x^{-8}$

Ответ: $x^{-8}$.