Номер 38.18, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.18, страница 149.

38.18 $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1, \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1. \end{cases}$

Для исследования данной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} |x|, & \text{если } x < 1 \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$ проведем полный анализ по пунктам.

Сначала раскроем модуль в первом выражении. Так как $|x| = -x$ при $x < 0$ и $|x| = x$ при $x \ge 0$, функцию можно переписать в виде:

$y(x) = \begin{cases} -x, & \text{если } x < 0 \\ x, & \text{если } 0 \le x < 1 \\ \frac{1}{x^3}, & \text{если } x \ge 1 \end{cases}$

1. Область определения

Функция определена на трех участках, которые вместе покрывают всю числовую ось. Выражения $-x$ и $x$ определены для всех действительных чисел. Выражение $\frac{1}{x^3}$ определено для всех $x \neq 0$, что выполняется на заданном для него промежутке $x \ge 1$. Таким образом, область определения функции — все действительные числа.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Непрерывность и точки разрыва

Функция состоит из элементарных функций, непрерывных на своих интервалах. Проверим непрерывность в точках "стыка" $x=0$ и $x=1$.

В точке $x=0$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y(x) = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y(x) = \lim_{x \to 0^+} (x) = 0$.
• Значение функции: $y(0) = 0$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, функция непрерывна в точке $x=0$.

В точке $x=1$:

• Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} y(x) = \lim_{x \to 1^-} (x) = 1$.
• Предел справа: $\lim_{x \to 1^+} y(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{1}{x^3} = \frac{1}{1^3} = 1$.
• Значение функции: $y(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.

Так как пределы слева и справа равны значению функции, функция непрерывна в точке $x=1$.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения. Точек разрыва нет.

3. Четность и нечетность

Проверим выполнение условий $y(-x) = y(x)$ (четность) или $y(-x) = -y(x)$ (нечетность). Возьмем, к примеру, $x=2$ и $x=-2$.

$y(2) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$

$y(-2) = |-2| = 2$

Поскольку $y(-2) \neq y(2)$ и $y(-2) \neq -y(2)$, функция не является ни четной, ни нечетной.

Ответ: Функция общего вида.

4. Точки пересечения с осями координат

• Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y(0) = 0$. Точка пересечения — $(0, 0)$.
• Пересечение с осью Ox (при $y=0$):
  Если $x < 1$, то $|x|=0 \implies x=0$.
  Если $x \ge 1$, то $\frac{1}{x^3}=0$, что не имеет решений.
  Единственная точка пересечения — $(0, 0)$.

Ответ: График проходит через начало координат $(0, 0)$.

5. Асимптоты

Вертикальные асимптоты: Отсутствуют, так как функция непрерывна на всей числовой оси.

Наклонные (и горизонтальные) асимптоты вида $y=kx+b$:

При $x \to +\infty$ (используем $y = \frac{1}{x^3}$):

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x^3}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^4} = 0$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (\frac{1}{x^3} - 0 \cdot x) = 0$.

Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

При $x \to -\infty$ (используем $y = |x| = -x$):

$k = \lim_{x \to -\infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x}{x} = -1$.

$b = \lim_{x \to -\infty} (y(x) - kx) = \lim_{x \to -\infty} (-x - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} 0 = 0$.

Следовательно, $y = -x$ — наклонная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$; наклонная асимптота $y=-x$ при $x \to -\infty$.

6. Промежутки монотонности и экстремумы

Найдем производную функции:

$y'(x) = \begin{cases} -1, & \text{если } x < 0 \\ 1, & \text{если } 0 < x < 1 \\ -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Производная не определена в точках $x=0$ и $x=1$ (это критические точки). Приравняв производную к нулю, видим, что $y'(x) \neq 0$ на всех интервалах. Таким образом, других критических точек нет.

Определим знаки производной на интервалах:

• $(-\infty, 0)$: $y' = -1 < 0$, функция убывает.
• $(0, 1)$: $y' = 1 > 0$, функция возрастает.
• $(1, +\infty)$: $y' = -\frac{3}{x^4} < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y(0)=0$.

В точке $x=1$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y(1)=1$.

Ответ: Функция возрастает на $[0, 1]$, убывает на $(-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$. Точка минимума: $(0, 0)$. Точка максимума: $(1, 1)$.

7. Промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба

Найдем вторую производную:

$y''(x) = \begin{cases} 0, & \text{если } x < 0 \\ 0, & \text{если } 0 < x < 1 \\ 12x^{-5} = \frac{12}{x^5}, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

Проанализируем знак второй производной:

• На интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, 1)$ $y''=0$, график представляет собой отрезки прямых.
• На интервале $(1, +\infty)$ $y'' = \frac{12}{x^5} > 0$, следовательно, график функции вогнутый (выпуклый вниз).

Точек перегиба в классическом понимании (где $y''$ меняет знак, проходя через ноль или разрыв) нет. Однако в точках $x=0$ и $x=1$ характер кривизны графика меняется, но это угловые точки.

Ответ: График является прямой линией на $(-\infty, 1)$ и вогнутый (выпуклый вниз) на $(1, +\infty)$.

8. Построение графика

На основе проведенного анализа строим график функции:

1. На интервале $(-\infty, 0)$ график совпадает с прямой $y=-x$. Это луч, идущий из бесконечности в точку $(0,0)$.
2. В точке $(0,0)$ находится точка минимума (острый "угол").
3. На интервале $[0, 1)$ график совпадает с прямой $y=x$. Это отрезок, соединяющий точки $(0,0)$ и $(1,1)$.
4. В точке $(1,1)$ находится точка максимума (также "угол").
5. На интервале $[1, +\infty)$ график представляет собой кривую $y=1/x^3$, которая начинается в точке $(1,1)$ и асимптотически приближается к оси Ox, оставаясь вогнутой.

График представляет собой "галочку" функции $y=|x|$ на промежутке $(-\infty, 1)$, за которой следует убывающая кривая, стремящаяся к нулю.