Номер 38.13, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.13, страница 148.

38.13 a) $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1;$

Б) $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5;$

В) $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2;$

Г) $y = (x - 3)^{\frac{1}{2}} - 1.$

а)

Дана функция $y = (x + 3)^{\frac{1}{6}} - 1$. Это степенная функция с рациональным показателем $p = \frac{1}{6}$. Область определения функции, заданной формулой $y = f(x)^{\frac{m}{n}}$, где $\frac{m}{n}$ — несократимая дробь, зависит от четности знаменателя $n$. Поскольку в данном случае знаменатель показателя степени $n=6$ является четным числом, выражение, стоящее в основании степени, должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x + 3 \ge 0$
$x \ge -3$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-3, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-3, +\infty)$.

б)

Дана функция $y = (x - 2)^{-\frac{1}{9}} + 5$. Это степенная функция с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{1}{9}$. Функцию можно переписать в виде $y = \frac{1}{(x - 2)^{\frac{1}{9}}} + 5$. Знаменатель показателя степени $n=9$ является нечетным числом, поэтому основание степени $x-2$ может быть любым действительным числом. Однако, так как показатель степени отрицательный, это означает деление на выражение в основании. Деление на ноль невозможно, поэтому основание степени не может быть равно нулю. Следовательно, должно выполняться условие:
$x - 2 \neq 0$
$x \neq 2$
Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 2.
Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

в)

Дана функция $y = (x + 6)^{\frac{7}{4}} + 2$. Это степенная функция с рациональным показателем $p = \frac{7}{4}$. Поскольку знаменатель показателя степени $n=4$ является четным числом, выражение в основании степени должно быть неотрицательным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x + 6 \ge 0$
$x \ge -6$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $[-6, +\infty)$.
Ответ: $x \in [-6, +\infty)$.

г)

Дана функция $y = (x - 3)^{-\frac{1}{2}} - 1$. Это степенная функция с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{1}{2}$. Функцию можно переписать как $y = \frac{1}{(x - 3)^{\frac{1}{2}}} - 1$. Знаменатель показателя степени $n=2$ является четным числом, поэтому основание степени должно быть неотрицательным: $x-3 \ge 0$. Показатель степени отрицательный, поэтому основание степени не может быть равно нулю: $x-3 \neq 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что основание степени должно быть строго положительным. Следовательно, необходимо решить неравенство:
$x - 3 > 0$
$x > 3$
Таким образом, область определения функции — это промежуток $(3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (3, +\infty)$.