Номер 38.9, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.9, страница 148.

38.9 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$:

а) на отрезке $[0; 1];$

б) на луче $[1; +\infty);$

в) на интервале $(2; 3);$

г) на полуинтервале $(5; 16].$

Для решения задачи найдем наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ на заданных промежутках.

Сначала проанализируем саму функцию. Функция $y = x^{\frac{1}{4}}$ также может быть записана как $y = \sqrt[4]{x}$. Область определения этой функции — $x \ge 0$.

Чтобы определить монотонность функции, найдем ее производную: $y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Поскольку производная $y' > 0$ для всех $x > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения $[0, +\infty)$. Это означает, что большему значению аргумента $x$ соответствует большее значение функции $y$. На этом свойстве и будет основано решение.

а) на отрезке [0; 1]

Так как функция строго возрастает на отрезке $[0; 1]$, свое наименьшее значение она принимает в левой крайней точке, а наибольшее — в правой.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(0) = 0^{\frac{1}{4}} = 0$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
Ответ: наименьшее значение равно 0, наибольшее значение равно 1.

б) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция также возрастает. Наименьшее значение достигается в левой крайней точке $x=1$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
Поскольку аргумент $x$ может неограниченно возрастать (стремится к $+\infty$), значение функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ также будет неограниченно возрастать. Следовательно, наибольшего значения на этом луче не существует.
Ответ: наименьшее значение равно 1, наибольшего значения не существует.

в) на интервале (2; 3)

Интервал $(2; 3)$ является открытым, то есть его концы $x=2$ и $x=3$ не принадлежат интервалу. Так как функция строго возрастает, значения функции будут находиться в интервале $(y(2), y(3))$, то есть $(\sqrt[4]{2}, \sqrt[4]{3})$. Значения функции могут быть сколь угодно близки к границам этого интервала $(\sqrt[4]{2}$ и $\sqrt[4]{3})$, но никогда их не достигнут. Таким образом, на открытом интервале функция не достигает своего наименьшего и наибольшего значений.
Ответ: ни наименьшего, ни наибольшего значения не существует.

г) на полуинтервале (5; 16]

На полуинтервале $(5; 16]$ левая граница $x=5$ не включена, а правая $x=16$ включена. Так как функция возрастает, наибольшее значение будет достигаться в правой крайней точке, которая принадлежит этому промежутку.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(16) = 16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$.
Левая граница $x=5$ не принадлежит промежутку, поэтому наименьшее значение не достигается. Значения функции стремятся к $y(5) = 5^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{5}$, но никогда его не достигают.
Ответ: наименьшего значения не существует, наибольшее значение равно 2.