Номер 38.2, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.2, страница 147.

38.2 a) $y = x^{\frac{3}{2}};

б) $y = x^{\frac{1}{4}};

в) $y = x^{-\frac{1}{2}};

г) $y = x^{\frac{5}{4}}.$

Для решения всех пунктов используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

а)

Дана функция $y = x^{\frac{3}{2}}$.

В этом случае показатель степени $p = \frac{3}{2}$.

Находим производную, применяя формулу:

$y' = (x^{\frac{3}{2}})' = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3}{2} - 1} = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{3-2}{2}} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$.

б)

Дана функция $y = x^{\frac{1}{4}}$.

Здесь показатель степени $p = \frac{1}{4}$.

Находим производную:

$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4} - 1} = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1-4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.

в)

Дана функция $y = x^{-\frac{1}{2}}$.

Показатель степени в данном случае $p = -\frac{1}{2}$.

Вычисляем производную:

$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1+2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$.

г)

Дана функция $y = x^{\frac{5}{4}}$.

Здесь показатель степени $p = \frac{5}{4}$.

Находим производную по формуле:

$y' = (x^{\frac{5}{4}})' = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} \cdot x^{\frac{5-4}{4}} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.