Номер 38.1, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §38. Степенные функции, их свойства и графики - номер 38.1, страница 147.

Условие.

Постройте график функции:

38.1 а) $y = x^{10}$;

б) $y = x^{-3}$;

в) $y = x^{5}$;

г) $y = x^{-4}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 6.

а) $y = x^{10}$

Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n = 10$ — целое положительное четное число.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени 10 — четное число, функция является четной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).
3. Область значений: Поскольку любое число в четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=0$, $y=0^{10}=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • При $x=1$, $y=1^{10}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{10}=1$. График проходит через точку $(-1, 1)$.
   • При $|x| < 1$, значения $y$ очень малы (например, при $x=0.5$, $y \approx 0.001$). График "прижимается" к оси OX.
   • При $|x| > 1$, значения $y$ очень быстро растут (например, при $x=2$, $y = 1024$). График очень круто уходит вверх.
5. Форма графика: График похож на параболу $y=x^2$, но имеет более плоское "дно" вблизи точки $(0,0)$ и более крутые ветви при $|x|>1$. График целиком лежит в верхней полуплоскости (I и II координатные четверти).

Ответ: График функции — кривая, похожая на параболу, симметричная относительно оси OY. Она проходит через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Ветви графика направлены вверх и расположены в I и II координатных четвертях.

б) $y = x^{-3}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^3}$. Это степенная функция вида $y=x^n$, где показатель $n = -3$ — целое отрицательное нечетное число.

1. Область определения: Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени -3 — нечетное число, функция является нечетной. Это означает, что $y(-x) = (-x)^{-3} = -\frac{1}{x^3} = -y(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.
3. Асимптоты:
   • Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$ $y \to -\infty$.
   • Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=1$, $y=1^{-3}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{-3}=-1$. График проходит через точку $(-1, -1)$.
   • При $x=2$, $y=2^{-3}=\frac{1}{8}$. При $x \to +\infty$, график приближается к оси OX сверху.
   • При $x=-2$, $y=(-2)^{-3}=-\frac{1}{8}$. При $x \to -\infty$, график приближается к оси OX снизу.
5. Форма графика: График представляет собой гиперболу, состоящую из двух ветвей. Одна ветвь расположена в I координатной четверти, а вторая — в III координатной четверти.

Ответ: График функции — гипербола, состоящая из двух ветвей, симметричных относительно начала координат. Ветви расположены в I и III координатных четвертях и имеют асимптоты $x=0$ и $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

в) $y = x^5$

Это степенная функция вида $y = x^n$, где показатель $n = 5$ — целое положительное нечетное число.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел $x$, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени 5 — нечетное число, функция является нечетной. $y(-x) = (-x)^5 = -x^5 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
3. Область значений: Функция может принимать любые действительные значения. Область значений $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
4. Ключевые точки для построения:
   • При $x=0$, $y=0^5=0$. График проходит через начало координат $(0, 0)$.
   • При $x=1$, $y=1^5=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^5=-1$. График проходит через точку $(-1, -1)$.
   • При $0 < x < 1$, $0 < y < x$. При $-1 < x < 0$, $x < y < 0$. График "прижимается" к оси OX в окрестности нуля.
   • При $x > 1$, $y$ быстро растет; при $x < -1$, $y$ быстро убывает.
5. Форма графика: График похож на график кубической параболы $y=x^3$. Это S-образная кривая, проходящая через начало координат, расположенная в I и III координатных четвертях.

Ответ: График функции — кривая, симметричная относительно начала координат (S-образная форма). Она проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$, и расположена в I и III координатных четвертях.

г) $y = x^{-4}$

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^4}$. Это степенная функция вида $y=x^n$, где показатель $n = -4$ — целое отрицательное четное число.

1. Область определения: Функция не определена при $x=0$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Четность: Так как показатель степени -4 — четное число, функция является четной. $y(-x) = (-x)^{-4} = \frac{1}{(-x)^4} = \frac{1}{x^4} = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
3. Область значений: Так как $x^4 > 0$ для всех $x \neq 0$, то и $y = \frac{1}{x^4} > 0$. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
4. Асимптоты:
   • Прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x \to 0$ с обеих сторон, $y \to +\infty$.
   • Прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$ (сверху).
5. Ключевые точки для построения:
   • При $x=1$, $y=1^{-4}=1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
   • При $x=-1$, $y=(-1)^{-4}=1$. График проходит через точку $(-1, 1)$.
6. Форма графика: График состоит из двух ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях (над осью OX). Ветви симметричны относительно оси OY.

Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси OY. Ветви расположены в I и II координатных четвертях и имеют асимптоты $x=0$ и $y=0$. График проходит через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.