Номер 37.40, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.40, страница 146.

37.40 a) $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}$;

б) $\frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a + 1}{a^2 - 4a + 3}$.

а) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $$

1. Преобразуем знаменатель третьей дроби, вынеся общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ за скобки:

$$ a - a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) $$

2. Теперь выражение имеет вид:

$$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}} - \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $$

3. Приведем все дроби к общему знаменателю $a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})$, а второй дроби на $a^{\frac{1}{2}}$:

$$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} - \frac{a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} + \frac{b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} $$

4. Упростим числители. В числителе первой дроби используем формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2-y^2$:

$$ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}) = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = a - b $$

В числителе второй дроби:

$$ a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a $$

5. Запишем все под общим знаменателем и выполним вычисления в числителе:

$$ \frac{(a - b) - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{a - b - a + b}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = \frac{0}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})} = 0 $$

Выражение равно нулю при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть при $a > 0$, $b \ge 0$ и $a \neq b$.

Ответ: $0$

б) Упростим данное выражение по шагам. Исходное выражение:

$$ \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}}} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}}} - \frac{a+1}{a^2 - 4a + 3} $$

1. Упростим знаменатели каждой дроби, вынеся общие множители и разложив квадратный трехчлен на множители.

Знаменатель первой дроби: $$ a^{\frac{4}{3}} - 3a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 3) = a^{\frac{1}{3}}(a-3) $$

Знаменатель второй дроби: $$ a^{\frac{5}{3}} - a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}(a^{\frac{3}{3}} - 1) = a^{\frac{2}{3}}(a-1) $$

Знаменатель третьей дроби (решим уравнение $a^2 - 4a + 3 = 0$, корни $a_1=1$, $a_2=3$): $$ a^2 - 4a + 3 = (a-1)(a-3) $$

2. Подставим упрощенные знаменатели в исходное выражение:

$$ \frac{2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{1}{3}}(a-3)} - \frac{a^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{2}{3}}(a-1)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

3. Сократим первые две дроби (при условии, что $a \neq 0$):

$$ \frac{2}{a-3} - \frac{1}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-1)(a-3)$:

$$ \frac{2(a-1)}{(a-3)(a-1)} - \frac{1(a-3)}{(a-1)(a-3)} - \frac{a+1}{(a-1)(a-3)} $$

5. Запишем все под одним знаменателем и выполним действия в числителе:

$$ \frac{2(a-1) - (a-3) - (a+1)}{(a-1)(a-3)} $$

6. Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$$ \frac{2a - 2 - a + 3 - a - 1}{(a-1)(a-3)} = \frac{(2a - a - a) + (-2 + 3 - 1)}{(a-1)(a-3)} = \frac{0}{(a-1)(a-3)} = 0 $$

Выражение равно нулю при допустимых значениях переменной $a$ (т.е. $a \neq 0, a \neq 1, a \neq 3$).

Ответ: $0$