Номер 37.35, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.35, страница 145.

Вычислите:

37.35 a) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{\frac{1}{3}}$;

б) $49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2}$;

в) $216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} ;

г) $(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}$.

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами степеней: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$.
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 25^{\frac{1}{2}} - 81^{\frac{1}{2}} \cdot 125^{-\frac{1}{3}} = (4^{\frac{1}{2}}) \cdot (25^{\frac{1}{2}}) - (81^{\frac{1}{2}}) \cdot (\frac{1}{125^{\frac{1}{3}}})$
Вычислим каждое значение по отдельности:
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
$25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$
$125^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{125^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$
Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:
$2 \cdot 5 - 9 \cdot \frac{1}{5} = 10 - \frac{9}{5} = \frac{50}{5} - \frac{9}{5} = \frac{41}{5} = 8,2$
Ответ: 8,2

б) Используем те же свойства степеней.
$49^{-\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{7})^{-2} + 2^{-1} \cdot (-2)^{-2} = (\frac{1}{49^{\frac{1}{2}}}) \cdot (7^2) + (\frac{1}{2}) \cdot (\frac{1}{(-2)^2})$
Вычислим каждое значение:
$49^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{49}} = \frac{1}{7}$
$(\frac{1}{7})^{-2} = 7^2 = 49$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$(-2)^{-2} = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4}$
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{7} \cdot 49 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{49}{7} + \frac{1}{8} = 7 + \frac{1}{8} = 7\frac{1}{8}$
Ответ: $7\frac{1}{8}$

в) Применим свойства степеней для вычисления выражения.
$216^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{6})^{-2} - 5^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{216^{\frac{1}{3}}}) \cdot (6^2) - (\frac{1}{5}) \cdot (25^{\frac{1}{2}})$
Вычислим каждое значение:
$216^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{216}} = \frac{1}{6}$
$(\frac{1}{6})^{-2} = 6^2 = 36$
$5^{-1} = \frac{1}{5}$
$(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
Подставим значения в выражение:
$\frac{1}{6} \cdot 36 - \frac{1}{5} \cdot 5 = \frac{36}{6} - 1 = 6 - 1 = 5$
Ответ: 5

г) Решим выражение, применяя свойства степеней.
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} \cdot 16^{\frac{1}{2}} - 2^{-1} \cdot (\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} \cdot 8^{\frac{1}{3}} = (4^{\frac{1}{2}}) \cdot (16^{\frac{1}{2}}) - (\frac{1}{2}) \cdot (25^{\frac{1}{2}}) \cdot (8^{\frac{1}{3}})$
Вычислим каждое значение:
$(\frac{1}{4})^{-\frac{1}{2}} = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$
$16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$
$2^{-1} = \frac{1}{2}$
$(\frac{1}{25})^{-\frac{1}{2}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$
$8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$
Подставим значения в выражение:
$2 \cdot 4 - \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 8 - \frac{10}{2} = 8 - 5 = 3$
Ответ: 3