Номер 37.32, страница 145, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.32, страница 145.

37.32 a) $(x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1);$

б) $(k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}).$

а) Чтобы упростить данное выражение, применим формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $ дважды.

Сначала сгруппируем первые два множителя: $ (x^{\frac{1}{4}} + 1)(x^{\frac{1}{4}} - 1) $. Здесь $ a = x^{\frac{1}{4}} $ и $ b = 1 $. Применяя формулу, получаем: $ (x^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} - 1 = x^{\frac{2}{4}} - 1 = x^{\frac{1}{2}} - 1 $.

Теперь исходное выражение выглядит так: $ (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1) $.

Снова применяем формулу разности квадратов, где $ a = x^{\frac{1}{2}} $ и $ b = 1 $: $ (x^{\frac{1}{2}})^2 - 1^2 = x^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 = x^1 - 1 = x - 1 $.

Ответ: $ x - 1 $

---

б) В этом выражении для удобства вычислений изменим порядок умножения и сначала перемножим вторую и третью скобки. Мы снова будем использовать формулу разности квадратов $ (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 $.

Рассмотрим произведение $ (k^{\frac{1}{8}} + l^{\frac{1}{8}})(k^{\frac{1}{8}} - l^{\frac{1}{8}}) $. Здесь $ a = k^{\frac{1}{8}} $ и $ b = l^{\frac{1}{8}} $. Применяя формулу, получаем: $ (k^{\frac{1}{8}})^2 - (l^{\frac{1}{8}})^2 = k^{\frac{1}{8} \cdot 2} - l^{\frac{1}{8} \cdot 2} = k^{\frac{2}{8}} - l^{\frac{2}{8}} = k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}} $.

Теперь исходное выражение можно записать как: $ (k^{\frac{1}{4}} + l^{\frac{1}{4}})(k^{\frac{1}{4}} - l^{\frac{1}{4}}) $.

И вновь применяем ту же формулу, где $ a = k^{\frac{1}{4}} $ и $ b = l^{\frac{1}{4}} $: $ (k^{\frac{1}{4}})^2 - (l^{\frac{1}{4}})^2 = k^{\frac{1}{4} \cdot 2} - l^{\frac{1}{4} \cdot 2} = k^{\frac{2}{4}} - l^{\frac{2}{4}} = k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $.

Ответ: $ k^{\frac{1}{2}} - l^{\frac{1}{2}} $