Номер 37.38, страница 146, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.38, страница 146.

37.38 а) $ \frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t - 4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}} - 2} $ при $t = 9$;

б) $ \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} + 3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}} - 3} $ при $y = 100$.

а) Требуется найти значение выражения $\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{t-4} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}-2}$ при $t=9$.

Для начала упростим данное выражение. Знаменатель первой дроби, $t-4$, можно представить в виде разности квадратов, учитывая, что $t = (t^{\frac{1}{2}})^2$ и $4 = 2^2$.

$t-4 = (t^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)$

Подставим это разложение в исходное выражение:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} - \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}-2}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)$:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}}}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} - \frac{1 \cdot (t^{\frac{1}{2}}+2)}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} = \frac{2t^{\frac{1}{2}} - (t^{\frac{1}{2}}+2)}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{2t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} - 2}{t-4} = \frac{t^{\frac{1}{2}}-2}{t-4}$

Снова разложим знаменатель и сократим дробь:

$\frac{t^{\frac{1}{2}}-2}{(t^{\frac{1}{2}}-2)(t^{\frac{1}{2}}+2)} = \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}+2}$

Теперь подставим значение $t=9$ в полученное упрощенное выражение:

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}+2} = \frac{1}{\sqrt{9}+2} = \frac{1}{3+2} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) Требуется найти значение выражения $\frac{2}{y^{\frac{1}{4}}+3} - \frac{2}{y^{\frac{1}{4}}-3}$ при $y=100$.

Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)$. Воспользуемся формулой разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3) = (y^{\frac{1}{4}})^2 - 3^2 = y^{\frac{2}{4}} - 9 = y^{\frac{1}{2}} - 9$

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(y^{\frac{1}{4}}-3)}{(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)} - \frac{2(y^{\frac{1}{4}}+3)}{(y^{\frac{1}{4}}+3)(y^{\frac{1}{4}}-3)} = \frac{2(y^{\frac{1}{4}}-3) - 2(y^{\frac{1}{4}}+3)}{y^{\frac{1}{2}}-9}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2y^{\frac{1}{4}} - 6 - 2y^{\frac{1}{4}} - 6}{y^{\frac{1}{2}}-9} = \frac{-12}{y^{\frac{1}{2}}-9}$

Теперь подставим значение $y=100$ в упрощенное выражение:

$\frac{-12}{100^{\frac{1}{2}}-9} = \frac{-12}{\sqrt{100}-9} = \frac{-12}{10-9} = \frac{-12}{1} = -12$

Ответ: $-12$