Номер 37.41, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов


Авторы: Мордкович А. Г., Семенов П. В., Денищева Л. О., Корешкова Т. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е.
Тип: Задачник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Уровень обучения: базовый
Часть: 2
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-346-04509-0 (общ.), 978-5-346-04510-6 (ч. 1), 978-5-346-04511-3 (ч. 2)
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
§37. Обобщение понятия о показателе степени. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 37.41, страница 147.
№37.41 (с. 147)
Условие. №37.41 (с. 147)
скриншот условия

37.41 а) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$. Докажите, что $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}.
б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$. Докажите, что $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}.
Решение 2. №37.41 (с. 147)

Решение 6. №37.41 (с. 147)
а)
Даны функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g(x) = x^{-2}$. Необходимо доказать тождество $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$.
Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.
Вычислим левую часть: $f(16x^8)$.
Подставим выражение $16x^8$ в функцию $f(x)$: $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}}$.
Теперь вычислим каждый множитель. $16^{\frac{1}{4}}$ — это корень четвертой степени из 16, что равно 2. Для второго множителя используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^8)^{\frac{1}{4}} = x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = x^2$.
Таким образом, левая часть равна: $f(16x^8) = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.
Вычислим правую часть: $2(g(x))^{-1}$.
Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-2}$: $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2(x^{-2})^{-1} = 2 \cdot x^{(-2) \cdot (-1)} = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.
Мы получили, что левая часть равна $2x^2$ и правая часть равна $2x^2$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.
Ответ: Преобразование левой части дает $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}}(x^8)^{\frac{1}{4}} = 2x^2$. Преобразование правой части дает $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1} = 2x^2$. Так как $2x^2 = 2x^2$, тождество верно.
б)
Даны функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g(x) = x^{-3}$. Необходимо доказать тождество $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.
Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.
Вычислим левую часть: $f(27x^9)$.
Подставим выражение $27x^9$ в функцию $f(x)$: $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}}$.
Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}}$.
Теперь вычислим каждый множитель. Используем свойства $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ и $(a^m)^n = a^{mn}$: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$. $(x^9)^{\frac{2}{3}} = x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = x^6$.
Таким образом, левая часть равна: $f(27x^9) = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.
Вычислим правую часть: $9(g(x))^{-2}$.
Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-3}$: $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $9(x^{-3})^{-2} = 9 \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.
Мы получили, что левая часть равна $9x^6$ и правая часть равна $9x^6$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.
Ответ: Преобразование левой части дает $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}(x^9)^{\frac{2}{3}} = 9x^6$. Преобразование правой части дает $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2} = 9x^6$. Так как $9x^6 = 9x^6$, тождество верно.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 37.41 расположенного на странице 147 для 2-й части к задачнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №37.41 (с. 147), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Семенов (Павел Владимирович), Денищева (Лариса Олеговна), Корешкова (Т А), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), 2-й части ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Мнемозина.