Номер 37.41, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

Часть 2. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. §37. Обобщение понятия о показателе степени - номер 37.41, страница 147.

Условие.

37.41 а) Известно, что $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $g(x) = x^{-2}$. Докажите, что $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}.

б) Известно, что $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $g(x) = x^{-3}$. Докажите, что $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}.

Решение 2.

Решение 6.

а)

Даны функции $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ и $g(x) = x^{-2}$. Необходимо доказать тождество $f(16x^8) = 2(g(x))^{-1}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Вычислим левую часть: $f(16x^8)$.

Подставим выражение $16x^8$ в функцию $f(x)$: $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}}$.

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}} \cdot (x^8)^{\frac{1}{4}}$.

Теперь вычислим каждый множитель. $16^{\frac{1}{4}}$ — это корень четвертой степени из 16, что равно 2. Для второго множителя используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(x^8)^{\frac{1}{4}} = x^{8 \cdot \frac{1}{4}} = x^2$.

Таким образом, левая часть равна: $f(16x^8) = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.

Вычислим правую часть: $2(g(x))^{-1}$.

Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-2}$: $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $2(x^{-2})^{-1} = 2 \cdot x^{(-2) \cdot (-1)} = 2 \cdot x^2 = 2x^2$.

Мы получили, что левая часть равна $2x^2$ и правая часть равна $2x^2$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части дает $f(16x^8) = (16x^8)^{\frac{1}{4}} = 16^{\frac{1}{4}}(x^8)^{\frac{1}{4}} = 2x^2$. Преобразование правой части дает $2(g(x))^{-1} = 2(x^{-2})^{-1} = 2x^2$. Так как $2x^2 = 2x^2$, тождество верно.

б)

Даны функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g(x) = x^{-3}$. Необходимо доказать тождество $f(27x^9) = 9(g(x))^{-2}$.

Для доказательства преобразуем левую и правую части равенства по отдельности.

Вычислим левую часть: $f(27x^9)$.

Подставим выражение $27x^9$ в функцию $f(x)$: $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}}$.

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$: $(27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}} \cdot (x^9)^{\frac{2}{3}}$.

Теперь вычислим каждый множитель. Используем свойства $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$ и $(a^m)^n = a^{mn}$: $27^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{27})^2 = 3^2 = 9$. $(x^9)^{\frac{2}{3}} = x^{9 \cdot \frac{2}{3}} = x^6$.

Таким образом, левая часть равна: $f(27x^9) = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.

Вычислим правую часть: $9(g(x))^{-2}$.

Подставим в выражение функцию $g(x) = x^{-3}$: $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2}$.

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем: $9(x^{-3})^{-2} = 9 \cdot x^{(-3) \cdot (-2)} = 9 \cdot x^6 = 9x^6$.

Мы получили, что левая часть равна $9x^6$ и правая часть равна $9x^6$. Поскольку обе части тождественно равны, равенство доказано.

Ответ: Преобразование левой части дает $f(27x^9) = (27x^9)^{\frac{2}{3}} = 27^{\frac{2}{3}}(x^9)^{\frac{2}{3}} = 9x^6$. Преобразование правой части дает $9(g(x))^{-2} = 9(x^{-3})^{-2} = 9x^6$. Так как $9x^6 = 9x^6$, тождество верно.