Номер 38.6, страница 147, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.6, страница 147.

38.6 Исследуйте степенную функцию на чётность:

a) $y = x^{10}$

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$

в) $y = x^{-15}$

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

а) $y = x^{10}$

1. Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как это степенная функция с целым положительным показателем. Область определения является симметричной относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{10}$. Поскольку показатель степени 10 — чётное число, то $(-x)^{10} = x^{10}$.

Следовательно, $y(-x) = x^{10} = y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

б) $y = x^{-\frac{1}{3}}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

1. Область определения функции: $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как на ноль делить нельзя). Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{-x}}$. Поскольку корень нечётной степени из отрицательного числа равен корню из противоположного положительного числа, взятому со знаком минус, то $\sqrt[3]{-x} = -\sqrt[3]{x}$.

Следовательно, $y(-x) = \frac{1}{-\sqrt[3]{x}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

в) $y = x^{-15}$

Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{15}}$.

1. Область определения функции: $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как знаменатель $x^{15}$ обращается в ноль при $x=0$). Таким образом, $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{-15} = \frac{1}{(-x)^{15}}$. Поскольку показатель степени 15 — нечётное число, то $(-x)^{15} = -x^{15}$.

Следовательно, $y(-x) = \frac{1}{-x^{15}} = -\frac{1}{x^{15}} = -y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $y = x^{\frac{4}{3}}$

Представим функцию в виде $y = \sqrt[3]{x^4}$.

1. Область определения функции: корень нечётной степени (кубический) извлекается из любого действительного числа. Выражение $x^4$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Эта область определения симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение условия чётности/нечётности. Найдем $y(-x)$:

$y(-x) = (-x)^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{(-x)^4}$. Поскольку показатель степени 4 — чётное число, то $(-x)^4 = x^4$.

Следовательно, $y(-x) = \sqrt[3]{x^4} = y(x)$.

Так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = y(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.