Номер 38.12, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.12, страница 148.

Постройте график функции:

38.12 а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}};

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3;

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}};

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4.

а) $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$

Для построения графика данной функции, рассмотрим базовую степенную функцию $y_0 = x^{\frac{1}{2}}$, что эквивалентно $y_0 = \sqrt{x}$.

График функции $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x+2}$ получается из графика функции $y_0 = \sqrt{x}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (Ox) на 2 единицы влево.

Область определения функции $y_0 = \sqrt{x}$ есть $x \ge 0$. Следовательно, для функции $y = \sqrt{x+2}$ должно выполняться условие $x+2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$. Область определения: $D(y) = [-2, +\infty)$.

Построим график по точкам. Сначала определим ключевые точки для базовой функции $y_0 = \sqrt{x}$: (0, 0), (1, 1), (4, 2). Затем сдвинем их на 2 единицы влево:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0-2, 0) = (-2, 0).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1-2, 1) = (-1, 1).
• Точка (4, 2) переходит в точку (4-2, 2) = (2, 2).

Соединив эти точки плавной кривой, мы получим искомый график.

Ответ: График функции $y = (x + 2)^{\frac{1}{2}}$ является графиком функции $y=\sqrt{x}$ (ветвь параболы, выходящая из начала координат в первой четверти), сдвинутым на 2 единицы влево вдоль оси Ox. График начинается в точке (-2, 0) и проходит через точки (-1, 1) и (2, 2).

б) $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$

Для построения графика данной функции, рассмотрим базовую степенную функцию $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$.

График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ получается из графика функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$ путем сдвига (параллельного переноса) вдоль оси ординат (Oy) на 3 единицы вниз.

Область определения функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}} = (\sqrt{x})^7$ есть $x \ge 0$. Эта область определения сохраняется и для сдвинутой функции. Область определения: $D(y) = [0, +\infty)$.

Построим график по точкам. Ключевые точки для базовой функции $y_0 = x^{\frac{7}{2}}$: (0, 0), (1, 1). (Значения для других целых $x$ быстро растут, например, для $x=4$, $y=4^{7/2} = 128$). Сдвинем эти точки на 3 единицы вниз:

• Точка (0, 0) переходит в точку (0, 0-3) = (0, -3).
• Точка (1, 1) переходит в точку (1, 1-3) = (1, -2).

График начинается в точке (0, -3) и очень быстро возрастает при увеличении $x$.

Ответ: График функции $y = x^{\frac{7}{2}} - 3$ является графиком функции $y=x^{\frac{7}{2}}$, сдвинутым на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. График начинается в точке (0, -3), проходит через точку (1, -2) и далее круто поднимается вверх.

в) $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$

Преобразуем функцию: $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$.

Базовой функцией является $y_0 = x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox.

Область определения базовой функции $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$: $x \ne 0$. Для нашей функции: $x-1 \ne 0$, т.е. $x \ne 1$. Область определения: $D(y) = (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

Рассмотрим базовую функцию $y_0 = x^{-\frac{2}{3}}$. Она четная, так как $y_0(-x) = (-x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(-x)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = y_0(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \to 0$, $y \to +\infty$, поэтому $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$, поэтому $y=0$ — горизонтальная асимптота. Ключевые точки: (1, 1), (-1, 1), (8, $1/4$), (-8, $1/4$).

Сдвигаем график $y_0$ на 1 вправо:

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается в $x=1$.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ остается на месте.
• Ключевые точки: (1+1, 1) = (2, 1); (-1+1, 1) = (0, 1); (8+1, 1/4) = (9, 1/4).

График симметричен относительно прямой $x=1$ и расположен полностью в верхней полуплоскости ($y > 0$).

Ответ: График функции $y = (x - 1)^{-\frac{2}{3}}$ получается сдвигом графика $y = x^{-\frac{2}{3}}$ на 1 единицу вправо. Он имеет вертикальную асимптоту $x=1$ и горизонтальную асимптоту $y=0$. График симметричен относительно прямой $x=1$ и проходит через точки (0, 1) и (2, 1).

г) $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$

Преобразуем функцию: $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4 = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} + 4$.

Базовой функцией является $y_0 = x^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается из графика функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$ путем сдвига на 4 единицы вверх вдоль оси Oy.

Область определения базовой функции $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$: $x \ne 0$. Область определения сохраняется: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Рассмотрим базовую функцию $y_0 = x^{-\frac{1}{3}}$. Она нечетная, так как $y_0(-x) = (-x)^{-\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{x}} = -y_0(x)$. Ее график симметричен относительно начала координат. При $x \to 0^+$, $y \to +\infty$; при $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. $x=0$ — вертикальная асимптота. При $x \to \pm\infty$, $y \to 0$. $y=0$ — горизонтальная асимптота. Ключевые точки: (1, 1), (-1, -1), (8, 1/2), (-8, -1/2).

Сдвигаем график $y_0$ на 4 единицы вверх:

• Вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте.
• Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается в $y=4$.
• Центр симметрии (0,0) смещается в (0,4).
• Ключевые точки: (1, 1+4) = (1, 5); (-1, -1+4) = (-1, 3); (8, 1/2+4) = (8, 4.5).

График состоит из двух ветвей, расположенных во второй и первой четвертях относительно системы координат с началом в точке (0,4).

Ответ: График функции $y = x^{-\frac{1}{3}} + 4$ получается сдвигом графика $y = x^{-\frac{1}{3}}$ на 4 единицы вверх. Он имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и горизонтальную асимптоту $y=4$. График симметричен относительно точки (0, 4) и проходит через точки (1, 5) и (-1, 3).