Номер 38.17, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.17, страница 149.

Постройте и прочитайте график функции:

38.17 $y = \begin{cases} x, & \text{если } x < 0, \\ \frac{5}{x^3}, & \text{если } x \ge 0. \end{cases}$

Построение графика

Данная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика необходимо рассмотреть два случая, в зависимости от знака аргумента $x$.

1. При $x < 0$ функция задается формулой $y = x$. Графиком этой функции является прямая линия — биссектриса II и IV координатных углов. В нашем случае мы строим только ту часть прямой, которая соответствует условию $x < 0$. Это луч, расположенный во II координатном квадранте, выходящий из начала координат. Точка $(0, 0)$ этому лучу не принадлежит, так как неравенство строгое. На графике в этой точке мы бы поставили "выколотую" точку. Контрольные точки для построения: $(-1, -1)$; $(-2, -2)$.

2. При $x \ge 0$ функция задается формулой $y = x^{\frac{5}{3}}$. Это степенная функция. Её график находится в I координатном квадранте. Найдем ключевые точки:
• при $x=0$, $y = 0^{\frac{5}{3}} = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику.
• при $x=1$, $y = 1^{\frac{5}{3}} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
• при $x=8$, $y = 8^{\frac{5}{3}} = (\sqrt[3]{8})^5 = 2^5 = 32$. Точка $(8, 32)$ принадлежит графику.
Поскольку показатель степени $\frac{5}{3} > 1$, график функции является вогнутым (выпуклым вниз). Производная $y' = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}}$ в точке $x=0$ равна нулю ($y'(0)=0$), что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна и совпадает с осью абсцисс.

Объединяя обе части, мы получаем итоговый график. "Выколотая" точка $(0, 0)$ от первой части "закрашивается" значением функции из второй части. Так как предел функции слева $\lim_{x\to 0^-} x = 0$ равен значению функции в точке $y(0)=0$, функция является непрерывной в точке $x=0$. Таким образом, график представляет собой единую непрерывную линию.

Ответ: График функции состоит из двух частей, непрерывно соединенных в начале координат. Для $x < 0$ это луч прямой $y=x$, расположенный во II координатном квадранте. Для $x \ge 0$ это ветвь степенной функции $y=x^{\frac{5}{3}}$, расположенная в I координатном квадранте, которая касается оси $Ox$ в начале координат и является вогнутой (выпуклой вниз).

Чтение графика (свойства функции)

На основе построенного графика и анализа формул определим основные свойства функции.

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, так как она задана и для $x<0$, и для $x \ge 0$.
$D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений: При $x < 0$, $y$ принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$. При $x \ge 0$, $y$ принимает все значения из полуинтервала $[0; +\infty)$. Объединяя эти множества, получаем, что функция принимает все действительные значения.
$E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Нули функции: Функция обращается в ноль, если $y=0$.
• Если $x < 0$, то $y=x=0$, что не входит в рассматриваемый промежуток.
• Если $x \ge 0$, то $y=x^{\frac{5}{3}}=0$, откуда $x=0$.
Следовательно, у функции один нуль: $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0, 0)$.

4. Промежутки знакопостоянства:
• $y > 0$ (график выше оси $Ox$), когда $x^{\frac{5}{3}} > 0$, что верно при $x > 0$. Итак, $y > 0$ на интервале $(0; +\infty)$.
• $y < 0$ (график ниже оси $Ox$), когда $y=x < 0$, что верно при $x < 0$. Итак, $y < 0$ на интервале $(-\infty; 0)$.

5. Монотонность:
• При $x < 0$, производная $y' = (x)' = 1 > 0$.
• При $x > 0$, производная $y' = (x^{\frac{5}{3}})' = \frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}} > 0$.
В точке $x=0$ функция непрерывна, а производная неотрицательна в ее окрестности. Следовательно, функция является строго возрастающей на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Четность и нечетность: Область определения симметрична относительно нуля. Проверим значения: $y(1) = 1$, $y(-1)=-1$. На первый взгляд, функция может показаться нечетной, так как $y(-1) = -y(1)$. Однако, возьмем другую точку: $y(8)=32$, а $y(-8)=-8$. Поскольку $y(-8) \ne -y(8)$ (так как $-8 \ne -32$), функция не является нечетной. Четной она также не является. Таким образом, это функция общего вида.

7. Выпуклость и вогнутость:
• На интервале $(-\infty; 0)$ график является частью прямой, поэтому он не имеет выпуклости.
• На интервале $(0; +\infty)$ найдем вторую производную: $y'' = (\frac{5}{3}x^{\frac{2}{3}})' = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{10}{9\sqrt[3]{x}}$. Так как при $x>0$ $y''>0$, на этом интервале график является вогнутым (выпуклым вниз).
Точка $(0, 0)$ является точкой перегиба, так как в ней происходит смена характера выпуклости графика.

Ответ:
Основные свойства функции:
• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Непрерывна на всей области определения.
• Нуль функции: $x=0$.
• Знакопостоянство: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Монотонность: строго возрастает на $(-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция общего вида.
• Выпуклость: график является прямой на $(-\infty; 0)$ и вогнутым (выпуклым вниз) на $(0; +\infty)$. Точка $(0, 0)$ — точка перегиба.