Номер 38.22, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.22, страница 149.

Найдите производную заданной функции:

38.22 a) $y = x^8$;

б) $y = x^{-4}$;

в) $y = x^{40}$;

г) $y = \frac{1}{x^6}$.

Для нахождения производной заданной функции во всех пунктах используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$, где $p$ — показатель степени.

а) Дана функция $y = x^8$.

В этом случае показатель степени $p=8$. Применяем формулу производной степенной функции:

$y' = (x^8)' = 8 \cdot x^{8-1} = 8x^7$.

Ответ: $y' = 8x^7$.

б) Дана функция $y = x^{-4}$.

Здесь показатель степени $p=-4$. Применяем ту же формулу:

$y' = (x^{-4})' = -4 \cdot x^{-4-1} = -4x^{-5}$.

Данное выражение также можно записать в виде дроби: $y' = -\frac{4}{x^5}$.

Ответ: $y' = -4x^{-5}$.

в) Дана функция $y = x^{40}$.

Показатель степени в данном случае $p=40$. Находим производную по формуле:

$y' = (x^{40})' = 40 \cdot x^{40-1} = 40x^{39}$.

Ответ: $y' = 40x^{39}$.

г) Дана функция $y = \frac{1}{x^6}$.

Чтобы найти производную, сначала преобразуем функцию, представив ее в виде степени с отрицательным показателем, используя свойство $ \frac{1}{a^n} = a^{-n} $:

$y = x^{-6}$.

Теперь можем применить формулу производной степенной функции, где $p=-6$:

$y' = (x^{-6})' = -6 \cdot x^{-6-1} = -6x^{-7}$.

Результат можно также представить в виде дроби: $y' = -\frac{6}{x^7}$.

Ответ: $y' = -6x^{-7}$.