Номер 38.25, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.25, страница 150.

38.25 a) $y = x\sqrt{x}$;

б) $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$;

В) $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$;

Г) $y = x^2 \sqrt[3]{x}$.

а) Чтобы упростить выражение $y = x\sqrt{x}$, представим его в виде степени с рациональным показателем. Используем свойство корня $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.
$y = x \cdot \sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $y = x^{\frac{3}{2}}$.

б) Для упрощения выражения $y = \frac{x^2}{\sqrt{x}}$, представим корень в знаменателе в виде степени и воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
Знаменатель $\sqrt{x}$ можно записать как $x^{\frac{1}{2}}$.
Тогда $y = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{2 - \frac{1}{2}} = x^{\frac{4}{2} - \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.
Ответ: $y = x^{\frac{3}{2}}$.

в) Чтобы упростить выражение $y = \frac{\sqrt[3]{x}}{x}$, представим его в виде степени с рациональным показателем. Используем свойство корня $\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и свойство деления степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$.
$y = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{x^1} = x^{\frac{1}{3} - 1} = x^{\frac{1}{3} - \frac{3}{3}} = x^{-\frac{2}{3}}$.
Ответ: $y = x^{-\frac{2}{3}}$.

г) Для упрощения выражения $y = x^2\sqrt[3]{x}$, представим корень в виде степени и воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$.
Кубический корень $\sqrt[3]{x}$ можно записать как $x^{\frac{1}{3}}$.
Тогда $y = x^2 \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{2 + \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} + \frac{1}{3}} = x^{\frac{7}{3}}$.
Ответ: $y = x^{\frac{7}{3}}$.