Номер 38.28, страница 150, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.28, страница 150.

38.28 Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$:

а) $f(x) = 4 - x^{-\frac{3}{4}}, x_0 = 1;$

б) $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x, x_0 = 9;$

В) $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} - 1, x_0 = 8;$

Г) $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}, x_0 = 1.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции $f'(x)$ в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

а) $f(x) = 4 - x^{\frac{3}{4}}, x_0 = 1$

1. Найдем производную функции $f(x)$. Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю.

$f'(x) = (4 - x^{\frac{3}{4}})' = (4)' - (x^{\frac{3}{4}})' = 0 - \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = -\frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = -\frac{3}{4}(1)^{-\frac{1}{4}} = -\frac{3}{4} \cdot 1 = -\frac{3}{4}$.

Ответ: $-\frac{3}{4}$.

б) $f(x) = 12x^{-\frac{1}{2}} - x, x_0 = 9$

1. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (12x^{-\frac{1}{2}} - x)' = 12 \cdot (-\frac{1}{2})x^{-\frac{1}{2}-1} - 1 = -6x^{-\frac{3}{2}} - 1$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 9$.

$k = f'(9) = -6(9)^{-\frac{3}{2}} - 1$.

Так как $9^{-\frac{3}{2}} = \frac{1}{9^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{(\sqrt{9})^3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$, то:

$k = -6 \cdot \frac{1}{27} - 1 = -\frac{6}{27} - 1 = -\frac{2}{9} - 1 = -\frac{2}{9} - \frac{9}{9} = -\frac{11}{9}$.

Ответ: $-\frac{11}{9}$.

в) $f(x) = 2x^{\frac{2}{3}} - 1, x_0 = 8$

1. Найдем производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (2x^{\frac{2}{3}} - 1)' = 2 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} - 0 = \frac{4}{3}x^{-\frac{1}{3}}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 8$.

$k = f'(8) = \frac{4}{3}(8)^{-\frac{1}{3}}$.

Так как $8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$, то:

$k = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) $f(x) = x^{-3} + 6\sqrt{x}, x_0 = 1$

1. Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{-3} + 6x^{\frac{1}{2}}$ и найдем ее производную.

$f'(x) = (x^{-3} + 6x^{\frac{1}{2}})' = -3x^{-3-1} + 6 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -3x^{-4} + 3x^{-\frac{1}{2}}$.

2. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$.

$k = f'(1) = -3(1)^{-4} + 3(1)^{-\frac{1}{2}} = -3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = -3 + 3 = 0$.

Ответ: $0$.