Номер 38.23, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.23, страница 149.

38.23 a) $y = x^{\frac{3}{5}};

б) $y = \sqrt[4]{x^5};

В) $y = x^{\frac{7}{2}};

Г) $y = \sqrt[5]{x}.

а) $y = x^{\frac{3}{5}}$

Для нахождения производной степенной функции $y = x^n$ используется формула: $y' = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \frac{3}{5}$.

Подставляем значение $n$ в формулу производной:

$y' = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1} = \frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{3}{5} x^{-\frac{2}{5}}$.

Этот результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

б) $y = \sqrt[4]{x^5}$

Сначала преобразуем функцию в степенной вид, используя свойство корня $\sqrt[m]{a^k} = a^{\frac{k}{m}}$:

$y = \sqrt[4]{x^5} = x^{\frac{5}{4}}$.

Теперь применяем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{5}{4}$.

$y' = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - 1} = \frac{5}{4} x^{\frac{5}{4} - \frac{4}{4}} = \frac{5}{4} x^{\frac{1}{4}}$.

Этот результат можно также записать в виде корня: $y' = \frac{5}{4}\sqrt[4]{x}$.

Ответ: $y' = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

в) $y = x^{\frac{7}{2}}$

Используем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$ при $n = \frac{7}{2}$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$y' = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1} = \frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - \frac{2}{2}} = \frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}$.

Этот результат можно также записать в виде корня: $y' = \frac{7}{2}\sqrt{x^5}$ или $y' = \frac{7}{2}x^2\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{7}{2}x^{\frac{5}{2}}$.

г) $y = \sqrt[5]{x}$

Сначала преобразуем функцию в степенной вид:

$y = \sqrt[5]{x} = x^{\frac{1}{5}}$.

Применяем формулу производной степенной функции $y' = n \cdot x^{n-1}$, где $n = \frac{1}{5}$.

$y' = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} = \frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = \frac{1}{5} x^{-\frac{4}{5}}$.

Этот результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.