Номер 38.19, страница 149, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.19, страница 149.

38.19 $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ x^{-\frac{1}{2}}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

Для подробного решения задачи выполним полное исследование заданной кусочно-заданной функции $y = \begin{cases} \frac{1}{x}, & \text{если } x < 0, \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0. \end{cases}$

1. Область определения функции

Функция задана двумя выражениями. Первое выражение, $y = \frac{1}{x}$, определено для всех $x$, кроме $x=0$. Условие $x < 0$ удовлетворяет этому. Второе выражение, $y = \sqrt{x}$, определено для всех $x \ge 0$. Условие $x > 0$ удовлетворяет этому. Таким образом, функция не определена только в точке $x=0$.

Ответ: Область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

2. Область значений функции

Проанализируем значения, которые принимает функция на каждом из интервалов области определения.

• При $x < 0$, функция имеет вид $y = \frac{1}{x}$. Так как $x$ принимает все отрицательные значения, $y$ также принимает все отрицательные значения. Когда $x \to 0^-$, $y \to -\infty$. Когда $x \to -\infty$, $y \to 0^-$. Таким образом, на этом интервале область значений $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, функция имеет вид $y = \sqrt{x}$. Так как $x$ принимает все положительные значения, $y$ также принимает все положительные значения. Когда $x \to 0^+$, $y \to 0^+$. Когда $x \to +\infty$, $y \to +\infty$. Таким образом, на этом интервале область значений $(0, +\infty)$.

Объединяя оба случая, получаем общую область значений.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

3. Непрерывность и точки разрыва

Функция $y = \frac{1}{x}$ непрерывна на интервале $(-\infty, 0)$. Функция $y = \sqrt{x}$ непрерывна на интервале $(0, +\infty)$. Единственная точка, в которой непрерывность может нарушаться — это $x=0$. Поскольку функция не определена в этой точке, она имеет разрыв при $x=0$. Определим тип разрыва, вычислив односторонние пределы:

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} y = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$.

Предел справа: $\lim_{x \to 0^+} y = \lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0$.

Поскольку один из односторонних пределов равен бесконечности, в точке $x=0$ функция имеет разрыв второго рода.

Ответ: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$. В точке $x=0$ — разрыв второго рода.

4. Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты: Поскольку $\lim_{x \to 0^-} y = -\infty$, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальные асимптоты: Найдем пределы функции при $x \to \pm\infty$.

При $x \to -\infty$: $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Следовательно, прямая $y=0$ (ось абсцисс) — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.

При $x \to +\infty$: $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$. Горизонтальной асимптоты при $x \to +\infty$ нет.

Наклонные асимптоты: Проверим наличие наклонной асимптоты вида $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} = 0$.

Так как $k=0$, наклонной асимптоты нет.

Ответ: Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=0$ (при $x \to -\infty$).

5. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума

Найдем производную функции:

$y' = \begin{cases} (\frac{1}{x})', & \text{если } x < 0 \\ (\sqrt{x})', & \text{если } x > 0 \end{cases} = \begin{cases} -\frac{1}{x^2}, & \text{если } x < 0 \\ \frac{1}{2\sqrt{x}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Определим знаки производной:

• При $x < 0$, $y' = -\frac{1}{x^2} < 0$, так как $x^2 > 0$. Значит, функция строго убывает на интервале $(-\infty, 0)$.
• При $x > 0$, $y' = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$, так как $\sqrt{x} > 0$. Значит, функция строго возрастает на интервале $(0, +\infty)$.

Производная нигде не равна нулю. Критических точек нет. Так как в точке $x=0$ функция не определена, точек экстремума у функции нет.

Ответ: Функция убывает на $(-\infty, 0)$ и возрастает на $(0, +\infty)$. Точек экстремума нет.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную функции:

$y'' = \begin{cases} (-\frac{1}{x^2})', & \text{если } x < 0 \\ (\frac{1}{2\sqrt{x}})', & \text{если } x > 0 \end{cases} = \begin{cases} \frac{2}{x^3}, & \text{если } x < 0 \\ -\frac{1}{4x\sqrt{x}}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

Определим знаки второй производной:

• При $x < 0$, $x^3 < 0$, следовательно $y'' = \frac{2}{x^3} < 0$. График функции на этом интервале выпуклый вверх (вогнутый).
• При $x > 0$, $x\sqrt{x} > 0$, следовательно $y'' = -\frac{1}{4x\sqrt{x}} < 0$. График функции на этом интервале также выпуклый вверх (вогнутый).

Вторая производная нигде не равна нулю, и знак выпуклости не меняется в пределах областей непрерывности. Точек перегиба нет.

Ответ: График функции является выпуклым вверх (вогнутым) на всей области определения: на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$. Точек перегиба нет.

7. Построение графика

На основе проведенного анализа можно построить эскиз графика функции.
При $x < 0$ график представляет собой ветвь гиперболы $y=1/x$, расположенную в третьей координатной четверти. Она асимптотически приближается к оси $x$ при $x \to -\infty$ и к оси $y$ при $x \to 0^-$.
При $x > 0$ график представляет собой стандартную функцию квадратного корня $y=\sqrt{x}$, расположенную в первой координатной четверти. График выходит из точки $(0,0)$ (сама точка выколота) и монотонно возрастает.
На всей области определения график является выпуклым вверх.

Ответ: График состоит из двух ветвей. В третьей четверти — ветвь гиперболы $y=1/x$. В первой четверти — график функции $y=\sqrt{x}$ с выколотой точкой в начале координат.