Номер 38.15, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.15, страница 148.

38.15 Решите графически уравнение:

a) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x;$

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2};$

в) $x^{\frac{1}{4}} = x^3;$

г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4.$

Для графического решения уравнения вида $f(x) = g(x)$ необходимо построить в одной системе координат графики функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков являются корнями исходного уравнения.

а) $x^{\frac{1}{2}} = 6 - x$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{1}{2}}$ и $y = 6 - x$.
1. Функция $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. График представляет собой верхнюю ветвь параболы, симметричной относительно оси $Ox$. Он начинается в точке (0, 0) и плавно возрастает. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (4, 2), (9, 3).
2. Функция $y = 6 - x$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем две точки: если $x=0$, то $y=6$ (точка (0, 6)); если $y=0$, то $x=6$ (точка (6, 0)).
Построив графики, мы ищем их точку пересечения. Визуально можно предположить, что абсцисса точки пересечения — это $x=4$. Проверим это подстановкой:
Для левой части: $y = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Для правой части: $y = 6 - 4 = 2$.
Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке (4, 2). Так как функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, а функция $y = 6 - x$ — убывающей, то они могут иметь не более одной точки пересечения.
Ответ: $x=4$.

б) $x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{x^2}$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{3}{2}}$ и $y = \frac{1}{x^2}$.
Область допустимых значений для данного уравнения определяется условиями $x^{\frac{3}{2}}$ (требует $x \ge 0$) и $\frac{1}{x^2}$ (требует $x \neq 0$). Итоговая область определения: $x > 0$.
1. Функция $y = x^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{x})^3$. На области $x>0$ это возрастающая функция. График проходит через точки (0, 0), (1, 1), (4, 8).
2. Функция $y = \frac{1}{x^2}$. На области $x>0$ это убывающая функция. График находится в первой координатной четверти и асимптотически приближается к осям координат. График проходит через точки (1, 1), (2, 1/4), (1/2, 4).
Найдем точку пересечения графиков. Из перечисления ключевых точек видно, что оба графика проходят через точку (1, 1).
Проверим: при $x=1$, $y = 1^{\frac{3}{2}} = 1$ и $y = \frac{1}{1^2} = 1$.
Поскольку на всей области определения ($x>0$) функция $y = x^{\frac{3}{2}}$ строго возрастает, а функция $y = \frac{1}{x^2}$ строго убывает, они могут пересечься только в одной точке.
Ответ: $x=1$.

в) $x^{\frac{1}{4}} = x^3$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{1}{4}}$ и $y = x^3$.
Область определения для $y = x^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{x}$ есть $x \ge 0$.
1. Функция $y = \sqrt[4]{x}$. График выходит из точки (0, 0) и медленно возрастает. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (16, 2).
2. Функция $y = x^3$. График — кубическая парабола. Для $x \ge 0$ она также выходит из (0, 0) и возрастает, но гораздо быстрее. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (2, 8).
Найдем точки пересечения.
При $x=0$: $y = 0^{\frac{1}{4}} = 0$ и $y = 0^3 = 0$. Точка (0, 0) — точка пересечения.
При $x=1$: $y = 1^{\frac{1}{4}} = 1$ и $y = 1^3 = 1$. Точка (1, 1) — точка пересечения.
На интервале $(0, 1)$ график функции $y = x^{\frac{1}{4}}$ лежит выше графика $y = x^3$. На интервале $(1, \infty)$ график $y = x^3$ лежит выше графика $y = x^{\frac{1}{4}}$. Таким образом, других точек пересечения нет.
Ответ: $x=0; x=1$.

г) $x^{\frac{2}{3}} = x - 4$

Построим в одной системе координат графики двух функций: $y = x^{\frac{2}{3}}$ и $y = x - 4$.
1. Функция $y = x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^2}$. Она определена для всех действительных $x$. Её значения всегда неотрицательны ($y \ge 0$). График симметричен относительно оси $Oy$ и имеет точку возврата ("клюв") в начале координат. Ключевые точки: (0, 0), (1, 1), (8, 4), (-1, 1), (-8, 4).
2. Функция $y = x - 4$. График — прямая, проходящая через точки (0, -4) и (4, 0).
Так как значения функции $y=x^{\frac{2}{3}}$ неотрицательны, то и правая часть уравнения должна быть неотрицательной. То есть, $x - 4 \ge 0$, откуда $x \ge 4$. Это значит, что решения уравнения следует искать только при $x \ge 4$.
Проверим целые значения $x$, являющиеся точными кубами, начиная с $x \ge 4$.
При $x=8$:
Левая часть: $y = 8^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4$.
Правая часть: $y = 8 - 4 = 4$.
Значения совпали, значит, графики пересекаются в точке (8, 4).
Для $x>8$ прямая $y=x-4$ растет быстрее, чем кривая $y=x^{2/3}$ (ее наклон постоянно уменьшается), поэтому других точек пересечения нет.
Ответ: $x=8$.