Номер 38.11, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.11, страница 148.

38.11 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = x^{-\frac{2}{3}}$:

а) на отрезке $[1; 8];$

б) на интервале $(3; 5);$

в) на луче $[1; +\infty);$

г) на полуинтервале $(0; 1].$

Для решения задачи сначала проанализируем функцию $y = x^{-\frac{2}{3}}$.

Функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$.

Область определения функции — $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Все заданные в условии промежутки входят в область определения.

Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:

$y' = (x^{-\frac{2}{3}})' = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$.

На всех заданных промежутках $x > 0$. При $x > 0$ знаменатель $3\sqrt[3]{x^5}$ положителен, значит, производная $y' < 0$. Это означает, что на промежутке $(0; +\infty)$ функция является строго убывающей.

а) на отрезке [1; 8]

Так как функция непрерывна и убывает на отрезке $[1; 8]$, свое наибольшее значение она принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (2^3)^{-\frac{2}{3}} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Ответ: наименьшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, наибольшее значение равно $1$.

б) на интервале (3; 5)

На открытом интервале $(3; 5)$ функция также убывает. Поскольку концы интервала не включены, функция не достигает своих точных границ (супремума и инфимума) на этом интервале.

Значения функции на этом интервале находятся в пределах $(\lim_{x \to 5^-} y(x); \lim_{x \to 3^+} y(x))$.

$\lim_{x \to 3^+} y(x) = y(3) = 3^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}}$.

$\lim_{x \to 5^-} y(x) = y(5) = 5^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{25}}$.

Так как $x$ не может быть равен $3$ или $5$, точные значения $\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$ и $\frac{1}{\sqrt[3]{25}}$ не достигаются. Следовательно, ни наименьшего, ни наибольшего значения на данном интервале не существует.

Ответ: наименьшего и наибольшего значений не существует.

в) на луче [1; +∞)

На луче $[1; +\infty)$ функция убывает. Так как левая граница $x=1$ включена, наибольшее значение функция примет в этой точке.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Так как правая граница уходит в бесконечность, рассмотрим предел функции при $x \to +\infty$:

$\lim_{x \to +\infty} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = 0$.

Функция стремится к нулю, но никогда его не достигает. Следовательно, наименьшего значения на этом луче не существует.

Ответ: наибольшее значение равно $1$, наименьшего значения не существует.

г) на полуинтервале (0; 1]

На полуинтервале $(0; 1]$ функция убывает. Так как правая граница $x=1$ включена, наименьшее значение функция примет в этой точке.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(1) = 1^{-\frac{2}{3}} = 1$.

Так как левая граница $x=0$ не включена, рассмотрим предел функции при $x \to 0^+$:

$\lim_{x \to 0^+} x^{-\frac{2}{3}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} = +\infty$.

Функция неограниченно возрастает при приближении $x$ к нулю справа. Следовательно, наибольшего значения на этом полуинтервале не существует.

Ответ: наименьшее значение равно $1$, наибольшего значения не существует.