Номер 38.8, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.8, страница 148.

38.8 Исследуйте степенную функцию на монотонность:

a) $y = x^{12}$;

б) $y = x^{-\frac{1}{6}};

в) $y = x^{-11};

г) $y = x^{\frac{1}{7}}.$

а) Рассматривается степенная функция $y = x^{12}$.

Показатель степени $p = 12$ является четным натуральным числом. Область определения этой функции — все действительные числа, то есть $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Для исследования на монотонность найдем производную функции:

$y' = (x^{12})' = 12x^{11}$.

Теперь определим знаки производной на различных промежутках. Производная $y'$ равна нулю при $x = 0$.

Если $x > 0$, то $x^{11} > 0$, и, следовательно, $y' = 12x^{11} > 0$. Это означает, что на промежутке $(0; +\infty)$ функция возрастает.

Если $x < 0$, то $x^{11} < 0$, и, следовательно, $y' = 12x^{11} < 0$. Это означает, что на промежутке $(-\infty; 0)$ функция убывает.

Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, мы можем включить эту точку в оба промежутка монотонности.

Таким образом, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

б) Рассматривается степенная функция $y = x^{-\frac{1}{6}}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{1/6}} = \frac{1}{\sqrt[6]{x}}$.

Показатель степени $p = -\frac{1}{6}$ является отрицательным рациональным числом. Так как в знаменателе дроби-показателя стоит четное число (6), основание степени $x$ должно быть неотрицательным. Кроме того, так как показатель степени отрицательный, $x$ не может быть равен нулю. Следовательно, область определения функции: $D(y) = (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{-1/6})' = -\frac{1}{6}x^{-\frac{1}{6}-1} = -\frac{1}{6}x^{-7/6} = -\frac{1}{6\sqrt[6]{x^7}}$.

Для любого $x$ из области определения $(0; +\infty)$, значение $x^7$ положительно, и корень $\sqrt[6]{x^7}$ также положителен. Таким образом, знаменатель $6\sqrt[6]{x^7}$ всегда положителен.

Вся дробь имеет знак "минус" из-за множителя $-\frac{1}{6}$. Следовательно, $y' < 0$ для всех $x \in (0; +\infty)$.

Поскольку производная отрицательна на всей области определения, функция является убывающей на этом промежутке.

Ответ: функция убывает на промежутке $(0; +\infty)$.

в) Рассматривается степенная функция $y = x^{-11}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \frac{1}{x^{11}}$.

Показатель степени $p = -11$ является отрицательным целым числом. Функция не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при $x=0$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{-11})' = -11x^{-12} = -\frac{11}{x^{12}}$.

Знаменатель $x^{12}$ является четной степенью $x$, поэтому $x^{12} > 0$ для всех $x \neq 0$. Числитель дроби — $-11$, что является отрицательным числом.

Следовательно, производная $y' = -\frac{11}{x^{12}}$ отрицательна для всех $x$ из области определения.

Это означает, что функция убывает на каждом из интервалов своей области определения.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0)$ и на промежутке $(0; +\infty)$.

г) Рассматривается степенная функция $y = x^{\frac{1}{7}}$.

Эту функцию можно записать в виде $y = \sqrt[7]{x}$.

Показатель степени $p = \frac{1}{7}$ является положительным рациональным числом. Так как в знаменателе дроби-показателя стоит нечетное число (7), функция определена для всех действительных чисел. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции:

$y' = (x^{1/7})' = \frac{1}{7}x^{\frac{1}{7}-1} = \frac{1}{7}x^{-6/7} = \frac{1}{7\sqrt[7]{x^6}}$.

Производная не определена при $x=0$. Для любого $x \neq 0$, выражение $x^6$ положительно (четная степень). Корень седьмой степени из положительного числа также положителен, то есть $\sqrt[7]{x^6} > 0$.

Множитель $\frac{1}{7}$ также положителен. Следовательно, производная $y' > 0$ для всех $x \neq 0$.

Поскольку производная положительна на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, а сама функция $y = x^{1/7}$ непрерывна в точке $x=0$, она возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.