Номер 38.14, страница 148, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.14, страница 148.

38.14 a) $y = 2x^{\frac{1}{3}}$

б) $y = -x^{-\frac{3}{5}}$

В) $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$

Г) $y = -2x^{\frac{1}{4}}$

а) Для нахождения производной функции $y = 2x^{\frac{1}{3}}$ используется правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применяя эти правила, получаем:

$y' = (2x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot (x^{\frac{1}{3}})' = 2 \cdot \left(\frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-\frac{3}{3}} = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

Результат можно также представить в виде дроби с корнем: $y' = \frac{2}{3x^{\frac{2}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}}$.

б) Найдём производную функции $y = -x^{\frac{3}{5}}$. В данном случае коэффициент при степенной функции равен -1.

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (-x^{\frac{3}{5}})' = -1 \cdot (x^{\frac{3}{5}})' = -1 \cdot \left(\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-1}\right) = -\frac{3}{5}x^{\frac{3}{5}-\frac{5}{5}} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

Результат в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{3}{5x^{\frac{2}{5}}} = -\frac{3}{5\sqrt[5]{x^2}}$.

Ответ: $y' = -\frac{3}{5}x^{-\frac{2}{5}}$.

в) Найдём производную функции $y = \frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = \left(\frac{1}{2}x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1}\right) = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{2}-\frac{2}{2}} = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

Результат можно записать с использованием квадратного корня: $y' = \frac{3}{4}\sqrt{x}$.

Ответ: $y' = \frac{3}{4}x^{\frac{1}{2}}$.

г) Найдём производную функции $y = -2x^{\frac{1}{4}}$.

Применяем правило дифференцирования степенной функции:

$y' = (-2x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot (x^{\frac{1}{4}})' = -2 \cdot \left(\frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}\right) = -\frac{2}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.

Результат в виде дроби с корнем: $y' = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{4}}} = -\frac{1}{2\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{4}}$.