Номер 38.35, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.35, страница 151.

38.35 Решите уравнение $g'(x) = 0$, если:

а) $g(x) = 2\sqrt{x} - x$;

б) $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$;

в) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$;

г) $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$.

а) Дана функция $g(x) = 2\sqrt{x} - x$.

Для решения уравнения $g'(x) = 0$ сначала найдем производную функции $g(x)$. Представим функцию в виде $g(x) = 2x^{\frac{1}{2}} - x$. Используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:

$g'(x) = (2x^{\frac{1}{2}} - x)' = 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2} - 1} - 1 = x^{-\frac{1}{2}} - 1 = \frac{1}{\sqrt{x}} - 1$.

Теперь приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение. Область определения производной $x > 0$.

$\frac{1}{\sqrt{x}} - 1 = 0$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = 1$

$\sqrt{x} = 1$

Возведя обе части уравнения в квадрат, находим $x = 1$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 0$.

Ответ: 1

б) Дана функция $g(x) = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x$.

Найдем производную функции $g(x)$, применяя правило дифференцирования степенной функции:

$g'(x) = (\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{12}{5}x^{\frac{5}{4}} + 2x)' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} - \frac{12}{5} \cdot \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} + 2 = x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2$.

Решим уравнение $g'(x) = 0$:

$x^{\frac{1}{2}} - 3x^{\frac{1}{4}} + 2 = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{x} - 3\sqrt[4]{x} + 2 = 0$. Это уравнение является квадратным относительно $\sqrt[4]{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[4]{x}$, тогда $y^2 = \sqrt{x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 3y + 2 = 0$

По теореме Виета, корнями этого квадратного уравнения являются $y_1 = 1$ и $y_2 = 2$.

Выполним обратную замену:

1) Если $y = 1$, то $\sqrt[4]{x} = 1$, откуда $x = 1^4 = 1$.

2) Если $y = 2$, то $\sqrt[4]{x} = 2$, откуда $x = 2^4 = 16$.

Оба корня принадлежат области определения функции и ее производной ($x > 0$).

Ответ: 1; 16

в) Дана функция $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - 2$.

Решим уравнение $g'(x) = 0$:

$x^{\frac{1}{3}} - 2 = 0$

$\sqrt[3]{x} = 2$

Возведя обе части уравнения в куб, получаем $x = 2^3 = 8$.

Ответ: 8

г) Дана функция $g(x) = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x$.

Найдем производную функции $g(x)$:

$g'(x) = (\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} - \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}} - 2x)' = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} - \frac{6}{7} \cdot \frac{7}{6}x^{\frac{7}{6}-1} - 2 = x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2$.

Решим уравнение $g'(x) = 0$:

$x^{\frac{1}{3}} - x^{\frac{1}{6}} - 2 = 0$

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{x} - \sqrt[6]{x} - 2 = 0$. Это уравнение является квадратным относительно $\sqrt[6]{x}$. Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[6]{x}$. Так как корень четной степени, должно выполняться условие $y \ge 0$. Тогда $y^2 = \sqrt[3]{x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 - y - 2 = 0$

Корнями этого квадратного уравнения являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -1$.

Так как $y \ge 0$, корень $y_2 = -1$ является посторонним.

Выполним обратную замену для $y_1 = 2$:

$\sqrt[6]{x} = 2$

Возведя обе части в шестую степень, получаем $x = 2^6 = 64$.

Ответ: 64