Номер 38.37, страница 151, часть 2 - гдз по алгебре 10-11 класс задачник Мордкович, Семенов

§38. Степенные функции, их свойства и графики. Глава 6. Степени и корни. Степенные функции. ч. 2 - номер 38.37, страница 151.

38.37 Проведите касательную к графику функции $y = f(x)$, параллельную заданной прямой $y = kx + m$:

a) $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, $y = x - 2$;

б) $f(x) = \frac{1}{x^3}$, $y = 5 - 3x$.

а)

Требуется найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = 4\sqrt[4]{x}$, которая параллельна прямой $y = x - 2$.
Условие параллельности двух прямых заключается в равенстве их угловых коэффициентов. Угловой коэффициент (наклон) прямой $y = x - 2$ равен $k=1$.
Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$.
Таким образом, для нахождения точки касания необходимо решить уравнение $f'(x_0) = 1$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Для удобства представим функцию в виде $f(x) = 4x^{1/4}$.
$f'(x) = (4x^{1/4})' = 4 \cdot \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = x^{-3/4} = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

2. Найдём абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 1$.
$\frac{1}{\sqrt[4]{x_0^3}} = 1$
$\sqrt[4]{x_0^3} = 1$
$x_0^3 = 1^4$
$x_0 = 1$.

3. Найдём ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$.
$y_0 = f(1) = 4\sqrt[4]{1} = 4 \cdot 1 = 4$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(1; 4)$.

4. Составим уравнение касательной по формуле $y = y_0 + k(x - x_0)$, где $k=1$, $x_0=1$, $y_0=4$.
$y = 4 + 1 \cdot (x - 1)$
$y = 4 + x - 1$
$y = x + 3$.

Ответ: $y = x + 3$.

б)

Требуется найти уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{1}{x^3}$, которая параллельна прямой $y = 5 - 3x$.
Угловой коэффициент прямой $y = 5 - 3x$ равен $k=-3$.
Искомая касательная должна иметь такой же угловой коэффициент, поэтому будем искать точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = -3$.

1. Найдём производную функции $f(x)$. Представим функцию в виде $f(x) = x^{-3}$.
$f'(x) = (x^{-3})' = -3x^{-3-1} = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$.

2. Найдём абсциссы точек касания, решив уравнение $f'(x_0) = -3$.
$-\frac{3}{x_0^4} = -3$
Разделим обе части на $-3$:
$\frac{1}{x_0^4} = 1$
$x_0^4 = 1$.
Это уравнение имеет два действительных корня: $x_0 = 1$ и $x_0 = -1$. Следовательно, существуют две касательные, удовлетворяющие условию задачи.

3. Найдём уравнения для каждой касательной.
Случай 1: $x_0 = 1$.
Найдём ординату точки касания: $y_0 = f(1) = \frac{1}{1^3} = 1$.
Точка касания: $(1; 1)$.
Уравнение касательной: $y - 1 = -3(x - 1)$, откуда $y = -3x + 3 + 1$, то есть $y = -3x + 4$.

Случай 2: $x_0 = -1$.
Найдём ординату точки касания: $y_0 = f(-1) = \frac{1}{(-1)^3} = -1$.
Точка касания: $(-1; -1)$.
Уравнение касательной: $y - (-1) = -3(x - (-1))$, откуда $y + 1 = -3(x+1)$, то есть $y = -3x - 3 - 1$, что дает $y = -3x - 4$.

Ответ: $y = -3x + 4$ и $y = -3x - 4$.